2016-09-17
Лебедь, рак и щука тянут телегу. Скорость лебедя в два раза больше скорости щуки, скорость рака в два раза меньше скорости щуки. В некоторый момент времени верёвки, связывающие телегу с каждым из животных, лежат в горизонтальной плоскости и направлены так же, как и скорости соответствующих животных, причём угол между скоростями лебедя и щуки равен $\alpha$. Как при этом должна быть направлена скорость рака?
Решение:
Проекция скорости телеги на направление любой из верёвок должна быть равна скорости животного, тянущего за эту верёвку, поскольку длина любой из верёвок постоянна.
Пусть скорость рака равна $V$, тогда скорость щуки равна $2V$, а скорость лебедя $4V$. Будем откладывать векторы этих скоростей из одной точки $A$ и проведём окружность через концы $B$ и $C$ векторов скоростей лебедя и щуки, угол между которыми по условию равен $\alpha$ (см. рисунки). Поскольку вписанные в окружность треугольники, опирающиеся на её диаметр, являются прямоугольными, то вектор скорости телеги является диаметром этой окружности. При этом возможны следующие случаи.
рис.1
1) Вектор скорости телеги лежит между векторами скоростей лебедя и щуки (см. рис. 1). Этот случай реализуется при $\alpha > 60^{ \circ}$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$ получаем $|BC| = \sqrt{()^{2} + (2V)^{2} - 2 \cdot 4V \cdot 2V \cos \alpha} = 2V \sqrt{ 5 - 4 \cos \alpha}$. По теореме синусов диаметр окружности, в которую вписан треугольник $ABC$, равен $V_{телеги} = \frac{|BC|}{ \sin \alpha} = \frac{2V \sqrt{5-4 \cos \alpha}}{ \sin \alpha}$. При этом скорость рака, как видно из рисунка 1, может быть направлена под углом либо либо $\beta_{2}$ к скорости лебедя:
$\beta_{1} = arccos \frac{V_{рака}}{V_{телеги}} - arccos \frac{V_{лебедя}}{V_{телеги}} = arccos \frac{ \sin \alpha}{ 2 \sqrt{5 - 4 \cos \alpha}} - arccos \frac{2 \sin \alpha}{ \sqrt{5 - 4 \cos \alpha}}$,
$\beta_{2} = arccos \frac{V_{рака}}{V_{телеги}} + arccos \frac{V_{лебедя}}{V_{телеги}} = arccos \frac{ \sin \alpha}{ 2 \sqrt{5 - 4 \cos \alpha}} + arccos \frac{2 \sin \alpha}{ \sqrt{5 - 4 \cos \alpha}}$,
2) Вектор скорости телеги не лежит между векторами скоростей лебедя и щуки (см. рис. 2). Этот случай реализуется при $\alpha < 60^{ \circ}$. Проводя аналогичные выкладки, получим:
$\beta_{1} = arccos \frac{V_{рака}}{V_{телеги}} + arccos \frac{V_{лебедя}}{V_{телеги}} = arccos \frac{ \sin \alpha}{ 2 \sqrt{5 - 4 \cos \alpha}} - arccos \frac{2 \sin \alpha}{ \sqrt{5 - 4 \cos \alpha}}$,
$\beta_{2} = arccos \frac{V_{рака}}{V_{телеги}} - arccos \frac{V_{лебедя}}{V_{телеги}} = arccos \frac{ \sin \alpha}{ 2 \sqrt{5 - 4 \cos \alpha}} - arccos \frac{2 \sin \alpha}{ \sqrt{5 - 4 \cos \alpha}}$,
рис.2
3) При $\alpha = 60^{ \circ}$, Как видно из рисунков, $V_{телеги} = V_{лебедя} = 4V$, и $\beta_{1} = \beta_{2} = arccos(l/4)$.
4) При $\alpha = 0^{ \circ}$ и $\alpha = 180^{ \circ}$ у задачи решений нет.