ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-09-12   
Уравнение для радиальной функции $\xi (r)$ может быть преобразовано к виду

$\frac{d^{2} \xi (r) }{dr^{2} } + \left ( \alpha + \frac{2 \beta}{r} - \frac{l(l+1) }{r^{2} } \right ) \xi (r) = 0$,

где $\alpha = 2mE/ \hbar^{2}; \beta = \frac{Ze^{2}m}{(4 \pi \epsilon_{0} \hbar)^{2}}; l$ - целое число. Найти асимптотические решения уравнения при больших числах $r$. Указать, какие решения с $E > 0$ или с $E < 0$ приводят к связанным состояниям.


Решение:


$\frac{d^{2} \xi (y) }{dr^{2} } + \left ( \alpha + \frac{2 \beta}{ y} - \frac{l(l+1)}{y^{2} } \right ) \xi (y) = 0$
$\alpha = \frac{2mE}{ \hbar^{2} }, \beta = \frac{Ze^{2}m }{ (4 \pi \epsilon_{0} \hbar )^{2} }$,
$l$ - целое число

При больших $y$ членами $\frac{2 \beta}{y}$ и $\frac{l(l + 1)}{ y^{2} }$. Можно пренеберечь по сравнению с $\alpha$. Тогда уравнение примет вид $\frac{d^{2} \xi }{dy^{2} } + \alpha \xi = 0$.

Решение этого уравнения

$\xi (y) = C_{1} e^{i \sqrt{ \alpha y} } + C_{2} e^{ - i \sqrt{ \alpha y} }$.

При $\alpha > 0 (E > 0)$ функция $\xi (y)$ конечна при любых $y$, энергетический спектр непрерывный и движение электрона не связанные. При $\alpha < 0(E < 0)$ выражение $\xi(y)$ преобразуется к виду:

$\xi(y) = C_{1}e^{ - \sqrt{| \alpha |y } } + C_{2}e^{ \sqrt{ | \alpha | y } }$, где введено обозначение $\alpha = - | \alpha |$ (этим подчеркивается, что $\alpha < 0$). Тогда из условия конечности $\Psi$ - функция $C_{2} = 0$ и $\xi (y) = C_{1} e^{ - \sqrt{| \alpha| y} }$.

Решение с $E < 0$ приводят к связанным состояниями.