Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9104
2018-09-12 
Вычислить отношение вероятностей $W_{1}/W_{2}$ нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной $l$.
Решение:
$x_{1} = \frac{l - \Delta x}{2} = \frac{3}{8}l$
$x_{2} = \frac{l + \Delta x}{2} = \frac{5}{8}l$
$| \Psi_{n}(x) |^{2} = \frac{2}{l} \sin^{2} \left ( \frac{n \pi x}{l} \right );$
$w_{1} = \int_{x_{1} }^{x_{2} } | \Psi_{1}(x) |^{2} dx = \frac{2}{l} \int_{x_{1} }^{ x_{2} } \sin^{2} \left ( \frac{ \pi x}{l} \right ) dx = \frac{2}{x} \int_{x_{1} }^{x_{2} } \frac{1 - \cos^{2} \frac{2 \pi x}{l} }{2} dx = \frac{1}{l} \left . \left ( x - \frac{l}{2 \pi} \sin \frac{2 \pi x}{l} \right ) \right |_{ \frac{3}{8} l }^{ \frac{5}{8} l } = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \pi} \left ( \sin \frac{5 \pi }{4} - \sin \frac{3 \pi }{4} \right ) = \frac{1}{4} + \frac{ \sqrt{2} }{2 \pi}$
$w_{2} = \int_{x_{1} }^{x_{2} } | \Psi_{2}(x) |^{2} dx = \frac{2}{l} \int_{x_{1} }^{ x_{2} } \sin^{2} \left ( \frac{2 \pi x}{l} \right ) dx = \frac{2}{x} \int_{x_{1} }^{x_{2} } \frac{1 - \cos^{2} \frac{4 \pi x}{l} }{2} dx = \frac{1}{l} \left . \left ( x - \frac{l}{4 \pi} \sin \frac{4 \pi x}{l} \right ) \right |_{ \frac{3}{8} l }^{ \frac{5}{8} l } = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \pi} \left ( \sin \frac{5 \pi }{2} - \sin \frac{3 \pi }{2} \right ) = \frac{1}{4} - \frac{ 1 }{2 \pi}$
$\frac{w_{1} }{w_{2} } = \frac{ \frac{1}{4} + \frac{ \sqrt{2} }{2 \pi} }{ \frac{1}{4} - \frac{ 1 }{2 \pi} } = \frac{2 \pi + 4 \sqrt{2} }{2 \pi - 4} = 5,23$
Вычислить отношение вероятностей $W_{1}/W_{2}$ нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной $l$.
Решение:
$x_{1} = \frac{l - \Delta x}{2} = \frac{3}{8}l$
$x_{2} = \frac{l + \Delta x}{2} = \frac{5}{8}l$
$| \Psi_{n}(x) |^{2} = \frac{2}{l} \sin^{2} \left ( \frac{n \pi x}{l} \right );$
$w_{1} = \int_{x_{1} }^{x_{2} } | \Psi_{1}(x) |^{2} dx = \frac{2}{l} \int_{x_{1} }^{ x_{2} } \sin^{2} \left ( \frac{ \pi x}{l} \right ) dx = \frac{2}{x} \int_{x_{1} }^{x_{2} } \frac{1 - \cos^{2} \frac{2 \pi x}{l} }{2} dx = \frac{1}{l} \left . \left ( x - \frac{l}{2 \pi} \sin \frac{2 \pi x}{l} \right ) \right |_{ \frac{3}{8} l }^{ \frac{5}{8} l } = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \pi} \left ( \sin \frac{5 \pi }{4} - \sin \frac{3 \pi }{4} \right ) = \frac{1}{4} + \frac{ \sqrt{2} }{2 \pi}$
$w_{2} = \int_{x_{1} }^{x_{2} } | \Psi_{2}(x) |^{2} dx = \frac{2}{l} \int_{x_{1} }^{ x_{2} } \sin^{2} \left ( \frac{2 \pi x}{l} \right ) dx = \frac{2}{x} \int_{x_{1} }^{x_{2} } \frac{1 - \cos^{2} \frac{4 \pi x}{l} }{2} dx = \frac{1}{l} \left . \left ( x - \frac{l}{4 \pi} \sin \frac{4 \pi x}{l} \right ) \right |_{ \frac{3}{8} l }^{ \frac{5}{8} l } = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \pi} \left ( \sin \frac{5 \pi }{2} - \sin \frac{3 \pi }{2} \right ) = \frac{1}{4} - \frac{ 1 }{2 \pi}$
$\frac{w_{1} }{w_{2} } = \frac{ \frac{1}{4} + \frac{ \sqrt{2} }{2 \pi} }{ \frac{1}{4} - \frac{ 1 }{2 \pi} } = \frac{2 \pi + 4 \sqrt{2} }{2 \pi - 4} = 5,23$
