Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9089
2018-09-08 
Принимая, что Солнце излучает как черное тело, вычислить его энергетическую светимость $M_{e}$ и температуру $T$ его поверхности. Солнечный диск виден с Земли под углом $\theta = 32$. Солнечная постоянная $C = 1,4 кДж/(м^{2} \cdot с)$.
Решение:
Солнечная постоянная $C$, по определению, есть величина, равная:
$C = \frac{W}{St} = \frac{W}{4 \pi r^{2}t }$ (1)
где $W$ - энергия, излучаемая Солнцем за время $t$; $S = 4 \pi r^{2}$ - площадь сферической поверхности, радиуса $r$ который равен среднему расстоянию Земли от Солнца.
Энергию, излучаемую Солнцем за время $t$ выразим следующим образом
$W = R_{e}S_{0}t$, (2)
где $R_{e}$ - излучательность Солнца, т.е. энергия, которую оно излучает в единицу времени единицей поверхности; $S_{0}$ - площадь поверхности Солнца.
Подставляя выражение (2) в формулу (1) получаем
$C = \frac{R_{e}S_{0} }{4 \pi r^{2} }$
Выразим площадь поверхности Солнца $S_{0}$ через диаметр $d$ по формуле: $S_{0} = \pi d^{2}$. Тогда,
$C = \frac{R_{e}d^{2} }{4r^{2} }$ (3)
Обратимся к рисунку. Так как угол $\theta$ мал, то можно записать, что $d = r \theta$, где угол $\theta$ выражаем в радианах. С учетом этого формула (3) принимает вид:
$C = \frac{R_{e}r^{2} \theta^{2} }{4r^{2} } = \frac{R_{e} \theta^{2} }{4}$.
Отсюда определяем излучательность Солнца
$R_{e} = \frac{4C}{ \theta^{2} }$.
Температуру поверхности Солнца определим воспользовавшись законом Стефана- Больцмана, полагая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело.
Согласно закону Стефана - Больцмана излучательность абсолютно черного тела
$R_{e} = \sigma T^{4}$,
где $\sigma$ - постоянная Стефана - Больцмана ($\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \frac{Вт}{м^{2} \cdot К^{4} }$ ). Отсюда
$T = \sqrt[4]{ \frac{R_{e} }{ \sigma} }$
Подставляя в это выражение значение $\sigma$ и найденное выше значение $R_{e}$ и произведем вычисления, получим:
$T = \sqrt[4]{ \frac{64,7 \cdot 10^{6} }{5,67 \cdot 10^{-8} } } = 5,8 \cdot 10^{3} К$
Принимая, что Солнце излучает как черное тело, вычислить его энергетическую светимость $M_{e}$ и температуру $T$ его поверхности. Солнечный диск виден с Земли под углом $\theta = 32$. Солнечная постоянная $C = 1,4 кДж/(м^{2} \cdot с)$.
Решение:
Солнечная постоянная $C$, по определению, есть величина, равная:
$C = \frac{W}{St} = \frac{W}{4 \pi r^{2}t }$ (1)
где $W$ - энергия, излучаемая Солнцем за время $t$; $S = 4 \pi r^{2}$ - площадь сферической поверхности, радиуса $r$ который равен среднему расстоянию Земли от Солнца.
Энергию, излучаемую Солнцем за время $t$ выразим следующим образом
$W = R_{e}S_{0}t$, (2)
где $R_{e}$ - излучательность Солнца, т.е. энергия, которую оно излучает в единицу времени единицей поверхности; $S_{0}$ - площадь поверхности Солнца.
Подставляя выражение (2) в формулу (1) получаем
$C = \frac{R_{e}S_{0} }{4 \pi r^{2} }$
Выразим площадь поверхности Солнца $S_{0}$ через диаметр $d$ по формуле: $S_{0} = \pi d^{2}$. Тогда,
$C = \frac{R_{e}d^{2} }{4r^{2} }$ (3)
Обратимся к рисунку. Так как угол $\theta$ мал, то можно записать, что $d = r \theta$, где угол $\theta$ выражаем в радианах. С учетом этого формула (3) принимает вид:
$C = \frac{R_{e}r^{2} \theta^{2} }{4r^{2} } = \frac{R_{e} \theta^{2} }{4}$.
Отсюда определяем излучательность Солнца
$R_{e} = \frac{4C}{ \theta^{2} }$.
Температуру поверхности Солнца определим воспользовавшись законом Стефана- Больцмана, полагая, что Солнце излучает как абсолютно черное тело.
Согласно закону Стефана - Больцмана излучательность абсолютно черного тела
$R_{e} = \sigma T^{4}$,
где $\sigma$ - постоянная Стефана - Больцмана ($\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \frac{Вт}{м^{2} \cdot К^{4} }$ ). Отсюда
$T = \sqrt[4]{ \frac{R_{e} }{ \sigma} }$
Подставляя в это выражение значение $\sigma$ и найденное выше значение $R_{e}$ и произведем вычисления, получим:
$T = \sqrt[4]{ \frac{64,7 \cdot 10^{6} }{5,67 \cdot 10^{-8} } } = 5,8 \cdot 10^{3} К$
