ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-09-08   
При какой предельной скорости $v$ (в долях скорости света) источника можно вместо релятивистской формулы $v = v_{0} \sqrt{ \frac{1 - \beta}{1 + \beta} }$ для эффекта Доплера пользоваться приближенным выражением $v = v_{0}(1 - \beta)$, если погрешность в определении частоты не должна превышать 1 %?


Решение:


$\beta = \frac{v}{c} \Rightarrow v = \beta c$

Так как по условию задачи необходимо найти $v$ в долях скорости света, то фактически нужно найти $\beta$. Так как погрешности в вычислениях не должна превышать 1%, то можно записать условие

$\left | \frac{v_{т} }{v_{п} } \right | = k$, где $v_{т} = v_{0} \sqrt{ \frac{1 - \beta}{1 + \beta} }$
$v_{п} = v_{0} (1 - \beta)$

$k = 1,01$ - по условию задачи. Подставим и выразим $\beta$:

$\left | \frac{v_{0} \sqrt{1 - \beta} }{ \sqrt{1 + \beta} v_{0}(1 - \beta) } \right | = k$
$\left | \frac{1}{ \sqrt{1 + \beta} \sqrt{1 - \beta} } \right | = k$
$\left | \frac{1}{ \sqrt{1 - \beta^{2} } } \right | = k$ - возведем обе части в квадрат и избавимся от дроби
$k^{2} (1 - \beta^{2}) = 1$
$k^{2} - k^{2} \beta^{2} = 1$
$\beta = \sqrt{ \frac{k^{2} - 1 }{k^{2} } }$
$\beta = \sqrt{ 1 - \frac{1}{k^{2} } }$
$\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{1,01^{2} } } = 0,14$