Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9075
2018-09-08 
На какой высоте $h$ над центром круглого стола радиусом $r = 1 м$ нужно повесить лампочку, чтобы освещенность на краю стола была максимальной?
Решение:
$E = \frac{I}{l^{2} } \cos \epsilon$ (1)
$\cos \epsilon = \frac{h}{l}$ (2)
$l = \sqrt{h^{2} + r^{2} }$ (3)
Подставим (3) и (4) в (1):
$E = \frac{I}{h^{2} + r^{2} } \frac{h}{ \sqrt{h^{2} + r^{2} } } = \frac{Ih}{(h^{2} + r^{2} )^{3/2} }$
Для точек экстремума $\frac{dE}{dh} = 0$
$\frac{dE}{dh} = \frac{I(h^{2} + r^{2} )^{3/2} - Ih \frac{3}{2} \sqrt{h^{2} + r^{2} }2h }{(h^{2} + r^{2} )^{3} } = 0$
$I (h^{2} + r^{2} )^{3/2} - 3Ih^{2} (h^{2} + r^{2} )^{1/2} = 0$
$(h^{2} + r^{2} )^{1/2} (h^{2} + r^{2} -3h^{2} ) = 0$
Так как $h > 0$ и $r > 0$, то $h^{2} + r^{2} \neq 0$. Значит
$r^{2} - 2h^{2} = 0$
$h = \frac{r}{ \sqrt{2} } = \frac{r \sqrt{2} }{2}$
$h = \frac{ \sqrt{2} }{2} = 0,707 м$
На какой высоте $h$ над центром круглого стола радиусом $r = 1 м$ нужно повесить лампочку, чтобы освещенность на краю стола была максимальной?
Решение:
$E = \frac{I}{l^{2} } \cos \epsilon$ (1)
$\cos \epsilon = \frac{h}{l}$ (2)
$l = \sqrt{h^{2} + r^{2} }$ (3)
Подставим (3) и (4) в (1):
$E = \frac{I}{h^{2} + r^{2} } \frac{h}{ \sqrt{h^{2} + r^{2} } } = \frac{Ih}{(h^{2} + r^{2} )^{3/2} }$
Для точек экстремума $\frac{dE}{dh} = 0$
$\frac{dE}{dh} = \frac{I(h^{2} + r^{2} )^{3/2} - Ih \frac{3}{2} \sqrt{h^{2} + r^{2} }2h }{(h^{2} + r^{2} )^{3} } = 0$
$I (h^{2} + r^{2} )^{3/2} - 3Ih^{2} (h^{2} + r^{2} )^{1/2} = 0$
$(h^{2} + r^{2} )^{1/2} (h^{2} + r^{2} -3h^{2} ) = 0$
Так как $h > 0$ и $r > 0$, то $h^{2} + r^{2} \neq 0$. Значит
$r^{2} - 2h^{2} = 0$
$h = \frac{r}{ \sqrt{2} } = \frac{r \sqrt{2} }{2}$
$h = \frac{ \sqrt{2} }{2} = 0,707 м$
