ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-09-08   
Лампочка силой света $I = 80 кд$ находится на расстоянии $a = 2 м$ от собирательной линзы с диаметром $d = 12 см$ и главным фокусным расстоянием $f = 40 см$. Линза дает на экране, расположенном на расстоянии $b = 30 см$ от линзы, круглое светлое пятно. Найти освещенность $E$ экрана на месте этого пятна. Поглощением света в линзе пренебречь.


Решение:



Определим световой поток, попадающй на линзу:

$\Phi = I 2 \pi (1 - \cos \theta)$
$\cos \theta = \frac{a}{l} = \frac{a}{ \sqrt{a^{2} + \frac{d^{2} }{4} } }$
$\Phi = 2 \pi I \left ( 1 - \frac{a}{ \sqrt{a^{2} + \frac{d^{2} }{4} } } \right )$

Линза собирает световой поток $\Phi$ в круглое пятно площадью $S = \pi r^{2}$, где $r = MN$. Создаваемая освещенность

$E = \frac{ \Phi}{S} = \frac{2 \pi I \left ( 1 - \frac{a}{ \sqrt{a^{2} + \frac{d^{2} }{4} } } \right ) }{ \pi r^{2} } = \frac{2I}{r^{2} } \left ( 1 - \frac{a}{ \sqrt{a^{2} + \frac{d^{2} }{4} } } \right )$ (1)

Вычислим $r$. По формуле тонкой линзы запишем:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{LO} \Rightarrow \frac{a - f}{fa} = \frac{1}{LO} \Rightarrow LO = \frac{fa}{a - f} = \frac{0,4 \cdot 2}{2 - 0,4} = 0,5 м$

Из подобия $\Delta KLO$ и $\Delta NMO$ получим

$\frac{KL}{MN} = \frac{LO}{NO} \Rightarrow MN = \frac{KL \cdot NO}{LO}$, где $MN = r, KL = \frac{d}{2}, NO = LO - b$
$r = MN = \frac{d(LO - b) }{2LO} = \frac{d}{2} \left ( 1 - \frac{b}{LO} \right ) = \frac{0,12}{2} \left ( 1 - \frac{0,3}{0,5} \right ) = 0,024 м$

Подставим $r$ и остальные значения в формулу (1):

$E = \frac{2 \cdot 80}{0,024^{2} } \left ( 1 - \frac{2}{2^{2} + \frac{0,12^{2} }{4} } \right ) = 125 лк$