ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-09-02   
Электрон движется воднородном магнитном поле с индукцией $B = 9 мТл$ по винтовой линии, радиус $R$ которой равен 1 см и шаг $h=7,8 см$. Определить период $T$ обращения электрона и его скорость $v$.


Решение:



$\vec{v}_{ \parallel}$ и $v_{ \perp}$ - составляющие скорости электрона $\vec{v}$, причем $ \vec{v}_{ \parallel} \parallel \vec{B}, \vec{v}_{ \perp} \perp \vec{B}$.

$T = \frac{2 \pi R}{v_{ \perp} }$ (1)

$\begin{cases} F_{л} = ev_{ \perp}B // F_{л} = \frac{mv_{ \perp}^{2} }{R} \end{cases} \Rightarrow \frac{mv_{ \perp}^{2} }{2} = ev_{ \perp}B$,
$\frac{mv_{ \perp} }{R} = eB, v_{ \perp} = \frac{eBR}{m}$ (2)
$(2) \rightarrow (1): T = \frac{2 \pi R}{ \frac{eBR}{m} }, T = \frac{2 \pi m}{eB}$
$T = \frac{h}{v_{ \parallel} }$ (3).

Из (1) и (3) следует, что $ \frac{h}{v_{ \parallel} } = \frac{2 \pi R}{v_{ \perp} } $, откуда $v_{ \parallel} = \frac{hv_{ \perp} }{2 \pi R}$ (4)

$v^{2} = v_{ \perp}^{2} + v_{ \parallel}^{2}$ (5)

$(4) \rightarrow (5): v^{2} + v_{ \perp}^{2} + v_{ \perp}^{2} \left ( \frac{h}{2 \pi R} \right )^{2}, v^{2} = v_{ \perp}^{2} \left ( 1 + \left ( \frac{h}{2 \pi R} \right )^{2} \right )$,

$v = v_{ \perp} \sqrt{1 + \left ( \frac{h}{2 \pi R} \right )^{2} }$ (6)

$(2) \rightarrow (6): v = \frac{eBR}{m} \sqrt{1 + \left ( \frac{h}{2 \pi R} \right )^{2} }$

$T = \frac{2 \pi \cdot 9,11 \cdot 10^{-31} }{1,6 \cdot 10^{-13} \cdot 9 \cdot 10^{-3} } \approx 4 \cdot 10^{-9} с$, т.е. $T \approx 4 нс$
$v = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 9 \cdot 10^{-3} \cdot 1 \cdot 10^{-2} }{9,11 \cdot 10^{-31} } \sqrt{ 1 + \left ( \frac{7,8 \cdot 10^{-2} }{2 \pi \cdot 1 \cdot 10^{=2} } \right )^{2} } = 2,52 \cdot 10^{7} м/с$

т.е. $v \approx 25,2 Мм/с$