Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 904
2016-09-17 
Две материальные точки А и В движутся в пространстве. На рисунке приведены графики зависимости их декартовых координат от времени. Определите, в какой момент времени материальные точки находились на минимальном расстоянии друг от друга, и найдите это расстояние.
Решение:
Перейдём в систему отсчёта $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$, связанную с точкой $A$. Время в этой системе отсчёта совпадает со временем в исходной системе отсчёта, а точка $A$ покоится в начале координат. Поэтому задача упрощается — для решения задачи нужно рассматривать только движение точки $B$.
Выясним сначала, с какой скоростью движется в новой системе отсчёта точка $B$. Из графиков, приведённых в условии, следует, что в исходной системе отсчёта точки $A$ и $B$ имели следующие проекции скорости на координатные оси $XYZ$.
Точка $A: v_{Ax} = — 1 м/с, v_{Ay} = 2 м/с, v_{Az} = —4 м/с$.
Точка $B: v_{Bx} = — 4 м/с, v_{By} = —2 м/с, v_{Bz} = 8 м/с$.
В новой системе отсчёта точка $B$ имеет следующие проекции скорости на координатные оси $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$:
$V_{Bx^{ \prime}} = V_{Bx} 0 v_{Ax} = -3 м/с$,
$V_{By^{ \prime}} = V_{By} 0 v_{Ay} = -4 м/с$,
$V_{Bz^{ \prime}} = V_{Bz} 0 v_{Az} = 12 м/с$.
Значит, в системе отсчёта $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$ точка $B$ движется со скоростью $V_{B(r)^{ \prime}} = \sqrt{ (v_{Bx^{ \prime}})^{2} + (v_{By^{ \prime}})^{2} + (v_{Bz^{ \prime}})^{2} } = 13 м/с$, которая представляет собой скорость движения точки $B$ относительно точки $A$.
Теперь выясним, по какой траектории движется точка $B$ относительно точки $A$. Очевидно, что она представляет собой прямую линию, расположение которой нетрудно установить. Действительно, как следует из графиков, в момент времени $t = 0$ точка $B$ в системе отсчёта $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$ имела координаты $x^{ \prime}_{0} = 3 м, y^{ \prime}_{0} = 4 м, z^{ \prime}_{0} = 0 м$, то есть находилась в плоскости $X^{ \prime}Y^{ \prime}$ (см. рис.). Расстояние от начала отсчёта до точки $B$ в этот момент составляло $s_{0}^{ \prime} = \sqrt{(x_{0}^{ \prime})^{2} + (y_{0}^{ \prime})^{2} + (z_{0}^{ \prime})^{2}} = 5 м$
В момент времени $t = 1 с$ точка $B$ в новой системе отсчёта имела координаты $x^{ \prime}_{1} = 0 м, y^{ \prime}_{1} = 0 м, z^{ \prime}_{1} = 12 м$, то есть находилась на оси $Z^{ \prime}$, и расстояние от неё до начала координат было равно $s_{1}^{ \prime} = 12 м$. Отсюда видно, что начало координат (в котором находится точка $A$) и точки, в которых находилась точка $B$ в моменты времени $t = 0 с$ и $t = 1 с$, являются вершинами прямоугольного треугольника с гипотенузой $s^{ \prime} = 13 м$, причём точка $B$ движется вдоль гипотенузы. Значит, минимальное расстояние $h$ между точками $A$ и $B$ равно минимальному расстоянию от начала координат до гипотенузы, то есть длине высоты, опущенной на гипотенузу:
$h = s_{0}^{ \prime} \frac{s_{1}^{ \prime}}{s^{ \prime}} = \frac{60}{13} м \approx 4,62 м$.
К тому моменту, когда расстояние между точками $A$ и $B$ будет минимальным, точка $B$ пройдёт вдоль гипотенузы расстояние $L = \sqrt{(s_{0}^{ \prime} -h^{2})^{2}} = \frac{25}{13} м$. Поскольку точка $B$ в системе отсчёта $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$ движется со скоростью $V_{B(r)^{ \prime}}$, то это случится через время
$T = \frac{L}{V_{B(r)^{ \prime}}} = \frac{25}{169} с \approx 0,15 с$.
Задачу можно решить и более формальным способом. Запишем законы движения точек $A$ и $B$ в системе координат $XYZ$:
$x_{A}(t) = 9 - t, y_{A}(t) = 3 + 2t, z_{A}(t) = 7 - 4t$;
$x_{B}(t) = 12 - 4t, y_{B}(t) = 7 - 2t, z_{B}(t) = 7 + 8t$.
Тогда зависимость квадрата расстояния между точками от времени даётся выражением:
$S^{2}(T) = (x_{a}(t) - x_{B}(t))^{2} + (y_{A}(t) - y_{B}(t))^{2} + (z_{A}(t) - z_{B}(t))^{2} = 169t^{2} - 50t + 25$,
то есть представляет собой квадратичную функцию. Из теоремы Виета следует, что она имеет минимум при значении аргумента, равном взятому с обратным знаком отношению коэффициента при $t$ к удвоенному коэффициенту при $t^{2}$:
$S(T) = \sqrt{ 169 \cdot \left ( \frac{25}{169} \right )^{2} - 50 \cdot \frac{25}{169} + 25 } = \frac{60}{13} м$.
При этом минимальное значение расстояния между точками равно
Две материальные точки А и В движутся в пространстве. На рисунке приведены графики зависимости их декартовых координат от времени. Определите, в какой момент времени материальные точки находились на минимальном расстоянии друг от друга, и найдите это расстояние.
Решение:
Перейдём в систему отсчёта $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$, связанную с точкой $A$. Время в этой системе отсчёта совпадает со временем в исходной системе отсчёта, а точка $A$ покоится в начале координат. Поэтому задача упрощается — для решения задачи нужно рассматривать только движение точки $B$.
Выясним сначала, с какой скоростью движется в новой системе отсчёта точка $B$. Из графиков, приведённых в условии, следует, что в исходной системе отсчёта точки $A$ и $B$ имели следующие проекции скорости на координатные оси $XYZ$.
Точка $A: v_{Ax} = — 1 м/с, v_{Ay} = 2 м/с, v_{Az} = —4 м/с$.
Точка $B: v_{Bx} = — 4 м/с, v_{By} = —2 м/с, v_{Bz} = 8 м/с$.
В новой системе отсчёта точка $B$ имеет следующие проекции скорости на координатные оси $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$:
$V_{Bx^{ \prime}} = V_{Bx} 0 v_{Ax} = -3 м/с$,
$V_{By^{ \prime}} = V_{By} 0 v_{Ay} = -4 м/с$,
$V_{Bz^{ \prime}} = V_{Bz} 0 v_{Az} = 12 м/с$.
Значит, в системе отсчёта $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$ точка $B$ движется со скоростью $V_{B(r)^{ \prime}} = \sqrt{ (v_{Bx^{ \prime}})^{2} + (v_{By^{ \prime}})^{2} + (v_{Bz^{ \prime}})^{2} } = 13 м/с$, которая представляет собой скорость движения точки $B$ относительно точки $A$.
Теперь выясним, по какой траектории движется точка $B$ относительно точки $A$. Очевидно, что она представляет собой прямую линию, расположение которой нетрудно установить. Действительно, как следует из графиков, в момент времени $t = 0$ точка $B$ в системе отсчёта $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$ имела координаты $x^{ \prime}_{0} = 3 м, y^{ \prime}_{0} = 4 м, z^{ \prime}_{0} = 0 м$, то есть находилась в плоскости $X^{ \prime}Y^{ \prime}$ (см. рис.). Расстояние от начала отсчёта до точки $B$ в этот момент составляло $s_{0}^{ \prime} = \sqrt{(x_{0}^{ \prime})^{2} + (y_{0}^{ \prime})^{2} + (z_{0}^{ \prime})^{2}} = 5 м$
В момент времени $t = 1 с$ точка $B$ в новой системе отсчёта имела координаты $x^{ \prime}_{1} = 0 м, y^{ \prime}_{1} = 0 м, z^{ \prime}_{1} = 12 м$, то есть находилась на оси $Z^{ \prime}$, и расстояние от неё до начала координат было равно $s_{1}^{ \prime} = 12 м$. Отсюда видно, что начало координат (в котором находится точка $A$) и точки, в которых находилась точка $B$ в моменты времени $t = 0 с$ и $t = 1 с$, являются вершинами прямоугольного треугольника с гипотенузой $s^{ \prime} = 13 м$, причём точка $B$ движется вдоль гипотенузы. Значит, минимальное расстояние $h$ между точками $A$ и $B$ равно минимальному расстоянию от начала координат до гипотенузы, то есть длине высоты, опущенной на гипотенузу:
$h = s_{0}^{ \prime} \frac{s_{1}^{ \prime}}{s^{ \prime}} = \frac{60}{13} м \approx 4,62 м$.
К тому моменту, когда расстояние между точками $A$ и $B$ будет минимальным, точка $B$ пройдёт вдоль гипотенузы расстояние $L = \sqrt{(s_{0}^{ \prime} -h^{2})^{2}} = \frac{25}{13} м$. Поскольку точка $B$ в системе отсчёта $X^{ \prime}Y^{ \prime}Z^{ \prime}$ движется со скоростью $V_{B(r)^{ \prime}}$, то это случится через время
$T = \frac{L}{V_{B(r)^{ \prime}}} = \frac{25}{169} с \approx 0,15 с$.
Задачу можно решить и более формальным способом. Запишем законы движения точек $A$ и $B$ в системе координат $XYZ$:
$x_{A}(t) = 9 - t, y_{A}(t) = 3 + 2t, z_{A}(t) = 7 - 4t$;
$x_{B}(t) = 12 - 4t, y_{B}(t) = 7 - 2t, z_{B}(t) = 7 + 8t$.
Тогда зависимость квадрата расстояния между точками от времени даётся выражением:
$S^{2}(T) = (x_{a}(t) - x_{B}(t))^{2} + (y_{A}(t) - y_{B}(t))^{2} + (z_{A}(t) - z_{B}(t))^{2} = 169t^{2} - 50t + 25$,
то есть представляет собой квадратичную функцию. Из теоремы Виета следует, что она имеет минимум при значении аргумента, равном взятому с обратным знаком отношению коэффициента при $t$ к удвоенному коэффициенту при $t^{2}$:
$S(T) = \sqrt{ 169 \cdot \left ( \frac{25}{169} \right )^{2} - 50 \cdot \frac{25}{169} + 25 } = \frac{60}{13} м$.
При этом минимальное значение расстояния между точками равно
