Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9022
2018-08-08 
Имеется $N$ одинаковых гальванических элементов с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r_{i}$ каждый. Из этих элементов требуется собрать батарею, состоящую из нескольких параллельно соединенных групп, содержащих по $n$ последовательно соединенных элементов. При таком значении $n$ сила тока $I$ во внешней цепи, имеющей сопротивление $R$, будет максимальной? Чему будет равно внутреннее сопротивление $R_{i}$ батареи при этом значении $n$?
Решение:
Имеем $N$ - общее число элементов; $n$ - число элементов в группе; тогда $\frac{N}{n}$ - число групп. Сопротивление одной группы равно:
$r_{1} + r_{2} + r_[3] + \cdots r_{n} = nr_{i}$
Внутреннее сопротивление всей батареи равно:
$R_{i} = \left ( \frac{1}{nr_{i}} + \frac{1}{nr_{i}} + \frac{1}{nr_{i} } + \cdots + \frac{1}{nr_{i} } \right )^{-1} = \left ( \frac{N/n}{nr_{i} } \right )^{-1} = \frac{n^{2}r-{i} }{N}$
Согласно закону Ома для полной цепи
$I = \frac{ \mathcal{E} }{R + R_{i} }$.
ЭДС $\mathcal{E}$ батареи равно сумме ЭДС $\mathcal{E}_{i}$ элементов одной из параллельных ветвей т.е.
$\mathcal{E} = n \mathcal{E}_{i}$.
Следовательно, $I = \frac{n \mathcal{E}_{i} }{R + R_{i} } = \frac{n \mathcal{E}_{i} }{R + \frac{n^{2}r_{i} }{N} }$
Найдем при каком $n$ функция $I = f(n)$ принимает максимальное значение. Для этого найдем производную
$\frac{dI}{dn} = \frac{ \mathcal{E}_{i} \left ( R + \frac{n^{2}r-{i} }{N} \right ) - n \mathcal{E}_{i} \frac{2nr_{i} }{N} }{ \left ( R + \frac{n^{2}r_{i} }{N} \right )^{2} }$
$\frac{dI}{dn} = 0$ при $\mathcal{E}_{i} \left ( R + \frac{n^{2}r_{i} }{N} \right ) - n \mathcal{E}_{i} \frac{2nr_{i} }{N} = 0$. Откуда
$R + \frac{n^{2}r_{i} }{N} - \frac{2n^{2}r_{i} }{N} = 0$;
$\frac{n^{2}r_{i} }{N} = R; n^{2} = \frac{NR}{r_{i} }$
$n = \sqrt{ \frac{NR}{r_{i} } }$
При $n > \sqrt{ \frac{NR}{r_{i} } }, \frac{dI}{dt} < 0$, а при $n < \sqrt{ \frac{NR}{r_{i} } }, \frac{dI}{dt} > 0$.
Следовательно при значении $n = \sqrt{ \frac{NR}{r_{i} }}$ сила тока во внешней цепи максимальна: $I = I_{max}$.
Соответствующее значение внутреннего сопротивления батареи равно:
$R_{i} = \frac{n^{2}r_{i} }{N} = \frac{NR}{r_{i} } \frac{r_{i} }{N} = R$.
Имеется $N$ одинаковых гальванических элементов с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r_{i}$ каждый. Из этих элементов требуется собрать батарею, состоящую из нескольких параллельно соединенных групп, содержащих по $n$ последовательно соединенных элементов. При таком значении $n$ сила тока $I$ во внешней цепи, имеющей сопротивление $R$, будет максимальной? Чему будет равно внутреннее сопротивление $R_{i}$ батареи при этом значении $n$?
Решение:
Имеем $N$ - общее число элементов; $n$ - число элементов в группе; тогда $\frac{N}{n}$ - число групп. Сопротивление одной группы равно:
$r_{1} + r_{2} + r_[3] + \cdots r_{n} = nr_{i}$
Внутреннее сопротивление всей батареи равно:
$R_{i} = \left ( \frac{1}{nr_{i}} + \frac{1}{nr_{i}} + \frac{1}{nr_{i} } + \cdots + \frac{1}{nr_{i} } \right )^{-1} = \left ( \frac{N/n}{nr_{i} } \right )^{-1} = \frac{n^{2}r-{i} }{N}$
Согласно закону Ома для полной цепи
$I = \frac{ \mathcal{E} }{R + R_{i} }$.
ЭДС $\mathcal{E}$ батареи равно сумме ЭДС $\mathcal{E}_{i}$ элементов одной из параллельных ветвей т.е.
$\mathcal{E} = n \mathcal{E}_{i}$.
Следовательно, $I = \frac{n \mathcal{E}_{i} }{R + R_{i} } = \frac{n \mathcal{E}_{i} }{R + \frac{n^{2}r_{i} }{N} }$
Найдем при каком $n$ функция $I = f(n)$ принимает максимальное значение. Для этого найдем производную
$\frac{dI}{dn} = \frac{ \mathcal{E}_{i} \left ( R + \frac{n^{2}r-{i} }{N} \right ) - n \mathcal{E}_{i} \frac{2nr_{i} }{N} }{ \left ( R + \frac{n^{2}r_{i} }{N} \right )^{2} }$
$\frac{dI}{dn} = 0$ при $\mathcal{E}_{i} \left ( R + \frac{n^{2}r_{i} }{N} \right ) - n \mathcal{E}_{i} \frac{2nr_{i} }{N} = 0$. Откуда
$R + \frac{n^{2}r_{i} }{N} - \frac{2n^{2}r_{i} }{N} = 0$;
$\frac{n^{2}r_{i} }{N} = R; n^{2} = \frac{NR}{r_{i} }$
$n = \sqrt{ \frac{NR}{r_{i} } }$
При $n > \sqrt{ \frac{NR}{r_{i} } }, \frac{dI}{dt} < 0$, а при $n < \sqrt{ \frac{NR}{r_{i} } }, \frac{dI}{dt} > 0$.
Следовательно при значении $n = \sqrt{ \frac{NR}{r_{i} }}$ сила тока во внешней цепи максимальна: $I = I_{max}$.
Соответствующее значение внутреннего сопротивления батареи равно:
$R_{i} = \frac{n^{2}r_{i} }{N} = \frac{NR}{r_{i} } \frac{r_{i} }{N} = R$.
