Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9020
2018-08-08 
На одном конце цилиндрического медного проводника сопротивлением $R_{0} = 10 Ом$ (при $0^{ \circ} С$) поддерживается температура $t_{1} = 20^{ \circ} С$, на другом $t_{2} = 400^{ \circ} С$. Найти сопротивление $R$ проводника, считая градиент температуры вдоль его оси постоянным.
Решение:
Так как градиент температуры постоянен, то
$\frac{dt}{dx} = const = k \Rightarrow dt = kdx, dx = \frac{dt}{k}$
$t = kx + C_{1}$
При $x = 0$ температуры $t_{1}$:
$t_{1} = C_{1}$ (1)
При $x = l$ температура $t_{2}$:
$t_{2} = kl + C_{1}$
С учетом (1) получаем
$t_{2} = kl + t_{1} \Rightarrow k = \frac{t_{2} - t_{1} }{l}$ (2)
Используем формулу
$R = \frac{ \rho l}{S}$, где $\rho = \rho_{0} (1 + \alpha t)$
$R = \int_{0}^{l} \frac{ \rho_{0}(1 + \alpha t)dx }{S} = \int_{t_{1} }^{t_{2} } \frac{ \rho_{0}(1 + \alpha t)dt }{kS} = \frac{ \rho_{0} }{ kS} \left . \left ( t + \frac{ \alpha t^{2} }{2} \right ) \right |_{t_{1} }^{t_{2} } = \frac{ \rho_{0} }{kS} \left ( t_{2} + \frac{ \alpha t_{2}^{2} }{2} - t_{1} - \frac{ \alpha t_{1}^{2} }{2} \right )$
Заменим $k$, используя (2)
$R = \frac{ \rho_{0}l }{(t_{2} - t_{1} )S } \left ( t_{2} - t_{1} + \frac{ \alpha}{2} (t_{2} - t_{1} )(t_{2} + t_{1} ) \right ) = R_{0} \left ( 1 + \frac{ \alpha (t_{2} + t_{1} ) }{2} \right )$
$R = 10 \left ( 1 + \frac{4,2 \cdot 10^{-3} (400 + 200) }{2} \right ) = 18,8 Ом$.
На одном конце цилиндрического медного проводника сопротивлением $R_{0} = 10 Ом$ (при $0^{ \circ} С$) поддерживается температура $t_{1} = 20^{ \circ} С$, на другом $t_{2} = 400^{ \circ} С$. Найти сопротивление $R$ проводника, считая градиент температуры вдоль его оси постоянным.
Решение:
Так как градиент температуры постоянен, то
$\frac{dt}{dx} = const = k \Rightarrow dt = kdx, dx = \frac{dt}{k}$
$t = kx + C_{1}$
При $x = 0$ температуры $t_{1}$:
$t_{1} = C_{1}$ (1)
При $x = l$ температура $t_{2}$:
$t_{2} = kl + C_{1}$
С учетом (1) получаем
$t_{2} = kl + t_{1} \Rightarrow k = \frac{t_{2} - t_{1} }{l}$ (2)
Используем формулу
$R = \frac{ \rho l}{S}$, где $\rho = \rho_{0} (1 + \alpha t)$
$R = \int_{0}^{l} \frac{ \rho_{0}(1 + \alpha t)dx }{S} = \int_{t_{1} }^{t_{2} } \frac{ \rho_{0}(1 + \alpha t)dt }{kS} = \frac{ \rho_{0} }{ kS} \left . \left ( t + \frac{ \alpha t^{2} }{2} \right ) \right |_{t_{1} }^{t_{2} } = \frac{ \rho_{0} }{kS} \left ( t_{2} + \frac{ \alpha t_{2}^{2} }{2} - t_{1} - \frac{ \alpha t_{1}^{2} }{2} \right )$
Заменим $k$, используя (2)
$R = \frac{ \rho_{0}l }{(t_{2} - t_{1} )S } \left ( t_{2} - t_{1} + \frac{ \alpha}{2} (t_{2} - t_{1} )(t_{2} + t_{1} ) \right ) = R_{0} \left ( 1 + \frac{ \alpha (t_{2} + t_{1} ) }{2} \right )$
$R = 10 \left ( 1 + \frac{4,2 \cdot 10^{-3} (400 + 200) }{2} \right ) = 18,8 Ом$.
