Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9019
2018-08-08 
Вычислить сопротивление $R$ графитового проводника, изготовленного в виде прямого кругового усеченного конуса высотой $h = 20 см$ и радиусами оснований $r_{1} = 12 мм$ и $r_{2} =8 мм$. Температура $t$ проводника равна $20^{ \circ} С$.
Решение:
$tg \alpha = \frac{h}{r_{1} - r_{2} }$ (1)
Рассмотрим слой толщины $dx$ на расстоянии $x$ от меньшего основания. Радиус этого слоя:
$r = r_{2} + \frac{x}{ tg \alpha}$
При вычислении сопротивления используем формулу $R = \frac{ \rho l}{S}$
$R = \int_{0}^{h} \frac{ \rho dx}{ \pi \left ( r_{2} + \frac{x}{tg \alpha} \right )^{2} } = \int_{0}^{h} \frac{ tg^{2} \alpha \rho d(x + r_{2} tg \alpha ) }{ \pi (r_{2} tg \alpha + x )^{2} } = - \left . \frac{tg^{2} \alpha \rho }{ \pi (r_{2} tg \alpha + x ) } \right |_{0}^{h} = - \frac{ tg^{2} \alpha \rho }{ \pi} \left ( \frac{1}{r_{2} tg \alpha + h } - \frac{1}{r_{2} tg \alpha } \right ) = \frac{tg^{2} \alpha \rho }{ \pi} \frac{r_{2} tg \alpha + h - r_{2} tg \alpha }{(r_{2} tg \alpha + h )r_{2} tg \alpha } = \frac{ tg \alpha \rho h}{ \pi r_{2} (r_{2} tg \alpha + h ) }$ (2)
Подставим (1) в (2)
$R = \frac{h \rho h}{(r_{1} - r_{2} ) \pi r_{2} \left ( \frac{r_{2}h }{r_{1} - r_{2} } + h \right ) } = \frac{h \rho}{ \pi r_{2} (r_{2} + r_{1} - r_{2} ) } = \frac{h \rho}{ \pi r_{1}r_{2} }$
$R = \frac{0,2 \cdot 3,9 \cdot 10^{-6} }{3,14 \cdot 0,012 \cdot 0,008} = 2,59 \cdot 10^{3} Ом = 2,59 мОм$
Вычислить сопротивление $R$ графитового проводника, изготовленного в виде прямого кругового усеченного конуса высотой $h = 20 см$ и радиусами оснований $r_{1} = 12 мм$ и $r_{2} =8 мм$. Температура $t$ проводника равна $20^{ \circ} С$.
Решение:
$tg \alpha = \frac{h}{r_{1} - r_{2} }$ (1)
Рассмотрим слой толщины $dx$ на расстоянии $x$ от меньшего основания. Радиус этого слоя:
$r = r_{2} + \frac{x}{ tg \alpha}$
При вычислении сопротивления используем формулу $R = \frac{ \rho l}{S}$
$R = \int_{0}^{h} \frac{ \rho dx}{ \pi \left ( r_{2} + \frac{x}{tg \alpha} \right )^{2} } = \int_{0}^{h} \frac{ tg^{2} \alpha \rho d(x + r_{2} tg \alpha ) }{ \pi (r_{2} tg \alpha + x )^{2} } = - \left . \frac{tg^{2} \alpha \rho }{ \pi (r_{2} tg \alpha + x ) } \right |_{0}^{h} = - \frac{ tg^{2} \alpha \rho }{ \pi} \left ( \frac{1}{r_{2} tg \alpha + h } - \frac{1}{r_{2} tg \alpha } \right ) = \frac{tg^{2} \alpha \rho }{ \pi} \frac{r_{2} tg \alpha + h - r_{2} tg \alpha }{(r_{2} tg \alpha + h )r_{2} tg \alpha } = \frac{ tg \alpha \rho h}{ \pi r_{2} (r_{2} tg \alpha + h ) }$ (2)
Подставим (1) в (2)
$R = \frac{h \rho h}{(r_{1} - r_{2} ) \pi r_{2} \left ( \frac{r_{2}h }{r_{1} - r_{2} } + h \right ) } = \frac{h \rho}{ \pi r_{2} (r_{2} + r_{1} - r_{2} ) } = \frac{h \rho}{ \pi r_{1}r_{2} }$
$R = \frac{0,2 \cdot 3,9 \cdot 10^{-6} }{3,14 \cdot 0,012 \cdot 0,008} = 2,59 \cdot 10^{3} Ом = 2,59 мОм$
