Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9000
2018-08-03 
Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной $a$. Стержни заряжены с линейной плотностью $\tau = 1,33 нКл/м$. Найти потенциал $\phi$ в центре квадрата.
Решение:
Потенциал создаваемый одной стороной
$\phi_{1} = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } \int_{l} \frac{dl}{r} = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } \int_{-l/2}^{l/2} \frac{dl}{ \sqrt{ \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} + x^{2} } } = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } \left . ln \left | x + \sqrt{ \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} + x^{2} } \right | \right |_{-l/2}^{l/2} = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( ln \left | \frac{l}{2} + \sqrt{ \frac{l^{2} }{2} } \right | - ln \left | - \frac{l}{2} + \sqrt{ \frac{l^{2} }{2} } \right | \right ) = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( ln \left | \frac{l}{2} + \frac{l}{ \sqrt{2} } \right | - ln \left | \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \right | \right ) = \frac{ \tau}{ 4 \pi \epsilon_{0} } ln \left | \frac{ \frac{1}{2} + \frac{1}{ \sqrt{2} } }{ \frac{1}{ \sqrt{2} } - \frac{1}{2} } \right | = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } ln \left | \frac{1 + \sqrt{2} }{ \sqrt{2} - 1 } \right | = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } ln ( \sqrt{2} + 1 )^{2} = \frac{ \tau}{2 \pi \epsilon_{0} } ln (1 + \sqrt{2} )$.
Тогда по принципу суперпозиции
$\phi = 4 \phi_{1} = \frac{2 \tau}{ \pi \epsilon_{0} } ln (1 + \sqrt{2} ) = \frac{2 \cdot 1,33 \cdot 10^{-9} }{ \pi 8,85 \cdot 10^{-12} } ln(1 + \sqrt{2} ) = 84,3 В$.
Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной $a$. Стержни заряжены с линейной плотностью $\tau = 1,33 нКл/м$. Найти потенциал $\phi$ в центре квадрата.
Решение:
Потенциал создаваемый одной стороной
$\phi_{1} = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } \int_{l} \frac{dl}{r} = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } \int_{-l/2}^{l/2} \frac{dl}{ \sqrt{ \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} + x^{2} } } = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } \left . ln \left | x + \sqrt{ \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} + x^{2} } \right | \right |_{-l/2}^{l/2} = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( ln \left | \frac{l}{2} + \sqrt{ \frac{l^{2} }{2} } \right | - ln \left | - \frac{l}{2} + \sqrt{ \frac{l^{2} }{2} } \right | \right ) = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } \left ( ln \left | \frac{l}{2} + \frac{l}{ \sqrt{2} } \right | - ln \left | \frac{l}{2} - \frac{l}{2} \right | \right ) = \frac{ \tau}{ 4 \pi \epsilon_{0} } ln \left | \frac{ \frac{1}{2} + \frac{1}{ \sqrt{2} } }{ \frac{1}{ \sqrt{2} } - \frac{1}{2} } \right | = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } ln \left | \frac{1 + \sqrt{2} }{ \sqrt{2} - 1 } \right | = \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} } ln ( \sqrt{2} + 1 )^{2} = \frac{ \tau}{2 \pi \epsilon_{0} } ln (1 + \sqrt{2} )$.
Тогда по принципу суперпозиции
$\phi = 4 \phi_{1} = \frac{2 \tau}{ \pi \epsilon_{0} } ln (1 + \sqrt{2} ) = \frac{2 \cdot 1,33 \cdot 10^{-9} }{ \pi 8,85 \cdot 10^{-12} } ln(1 + \sqrt{2} ) = 84,3 В$.
