Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8993
2018-08-03 
Длинный парафиновый цилиндр радиусом $R = 2 см$ несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью $\rho = 10 нКл/м^{3}$. Определить напряженность $E$ и смещение $D$ электрического поля в точках, находящихся от оси цилиндра на расстоянии: 1) $r_{1} = 1 см$; 2) $r_{2} = 3 см$. Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Построить графики зависимостей $E(r)$ и $D(r)$.
Решение:
Используя теорему Остроградского - Гаусса:
$\int EdS = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$
$E_{1}S_{1} = \frac{Q_{1} }{ \epsilon_{0} \epsilon }$, где $Q_{1} = \rho V_{1} = \rho S_{1}l = \rho \pi r_{1}^{2}l$ - заряд на выбранной гауссовой поверхности.
$S_{1} = 2 \pi r_{1}(r_{1} + l )$ - площадь поверхности цилиндра причем цилиндр бесконечно длинный: $l \gg r_{1} \Rightarrow S_{1} \approx 2 \pi r_{1}l \Rightarrow$
$E_{1} = \frac{Q_{1} }{ \epsilon \epsilon_{0} S_{1} } = \frac{ \rho \pi r_{}^{2} l }{ \epsilon \epsilon_{0} 2 \pi r_{1} l } = \frac{ \rho r_{1} }{2 \epsilon \epsilon_{0} } \Rightarrow E_{1} = \frac{10 \cdot 10^{-9} \cdot 0,01 }{2 \cdot 2 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} } = 2,83 В/м$.
Проводим Гауссову поверхность радиуса $r_{2}$:
$E_{2}S_{2} = \frac{Q}{ \epsilon_{0} } \Rightarrow = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S_{2} }$, где $Q = \rho V = \rho Sl = \rho \pi R^{2} l$ - заряд
$S_{2} = 2 \pi r_{2} (r_{2} + l ) \approx 2 \pi r_{2} l \Rightarrow$
$E_{2} = \frac{ \rho \pi R^{2}l }{ \epsilon_{0} 2 \pi r_{2} l } = \frac{ \rho R^{2} }{2 \epsilon_{0} r_{2} } \Rightarrow E_{2} = \frac{10 \cdot 10^{-9} \cdot 0,02^{2} }{2 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 0,03 } = 7,55 В/м$.
Смещение:
$\begin{cases} D_{1} = \epsilon_{0} \epsilon E_{1} \\ D_{2} = \epsilon_{0}E_{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} D_{1} = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 2 \cdot 2,23 = 50 \cdot 10^{-12} Кл/м^{2} \approx 50 пКл/м^{2} \\ D_{2} = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 7,55 = 66,7 \cdot 10^{-12} Кл/м^{2} \approx 66,7 пКл/м^{2} \end{cases}$
Длинный парафиновый цилиндр радиусом $R = 2 см$ несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью $\rho = 10 нКл/м^{3}$. Определить напряженность $E$ и смещение $D$ электрического поля в точках, находящихся от оси цилиндра на расстоянии: 1) $r_{1} = 1 см$; 2) $r_{2} = 3 см$. Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Построить графики зависимостей $E(r)$ и $D(r)$.
Решение:
Используя теорему Остроградского - Гаусса:
$\int EdS = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$
$E_{1}S_{1} = \frac{Q_{1} }{ \epsilon_{0} \epsilon }$, где $Q_{1} = \rho V_{1} = \rho S_{1}l = \rho \pi r_{1}^{2}l$ - заряд на выбранной гауссовой поверхности.
$S_{1} = 2 \pi r_{1}(r_{1} + l )$ - площадь поверхности цилиндра причем цилиндр бесконечно длинный: $l \gg r_{1} \Rightarrow S_{1} \approx 2 \pi r_{1}l \Rightarrow$
$E_{1} = \frac{Q_{1} }{ \epsilon \epsilon_{0} S_{1} } = \frac{ \rho \pi r_{}^{2} l }{ \epsilon \epsilon_{0} 2 \pi r_{1} l } = \frac{ \rho r_{1} }{2 \epsilon \epsilon_{0} } \Rightarrow E_{1} = \frac{10 \cdot 10^{-9} \cdot 0,01 }{2 \cdot 2 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} } = 2,83 В/м$.
Проводим Гауссову поверхность радиуса $r_{2}$:
$E_{2}S_{2} = \frac{Q}{ \epsilon_{0} } \Rightarrow = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S_{2} }$, где $Q = \rho V = \rho Sl = \rho \pi R^{2} l$ - заряд
$S_{2} = 2 \pi r_{2} (r_{2} + l ) \approx 2 \pi r_{2} l \Rightarrow$
$E_{2} = \frac{ \rho \pi R^{2}l }{ \epsilon_{0} 2 \pi r_{2} l } = \frac{ \rho R^{2} }{2 \epsilon_{0} r_{2} } \Rightarrow E_{2} = \frac{10 \cdot 10^{-9} \cdot 0,02^{2} }{2 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 0,03 } = 7,55 В/м$.
Смещение:
$\begin{cases} D_{1} = \epsilon_{0} \epsilon E_{1} \\ D_{2} = \epsilon_{0}E_{2} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} D_{1} = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 2 \cdot 2,23 = 50 \cdot 10^{-12} Кл/м^{2} \approx 50 пКл/м^{2} \\ D_{2} = 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 7,55 = 66,7 \cdot 10^{-12} Кл/м^{2} \approx 66,7 пКл/м^{2} \end{cases}$
