ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-08-03   
Полый стеклянный шар несет равномерно распределенный по объему заряд. Его объемная плотность $\rho = 100 нКл/м^{3}$. Внутренний радиус $R_{1}$ шара равен 5 см, наружный — $R_{2} = 10 см$. Вычислить напряженность $E$ и смещение $D$ электрического поля в точках, отстоящих от центра сферы на расстоянии: 1) $r_{1} = 3 см$; 2) $r_{2} = 6 см$; 3)$r_{3} = 12 см$. Построить графики зависимостей $E(r)$ и $D(r)$.


Решение:


1) $r_{1} < R_{1}$
$\oint DdS = q$
$DS = q$
$D 4 \pi r_{1}^{2} = 0$
$D = 0$
$E = \frac{D}{ \epsilon \epsilon_{0} } = 0$

2) $R_{1} \leq r_{2} \leq R_{2}$
$DS = q$
$q = \rho V = \rho \frac{4}{3} \pi R^{3}$
$q = \rho \frac{4}{3} \pi(r_{2}^{3} - R_{1}^{3} )$
$D 4 \pi r_{2}^{2} = \rho \frac{4}{3} \pi (r_{2}^{3} - R_{1}^{3} )$
$D = \frac{ \rho }{3} \left ( r_{2} - ]\frac{R_{1}^{3} }{r_{2}^{3} } \right ) = \frac{10^{-7} }{3} \left ( 6 \cdot 10^{-2} - \frac{125 \cdot 10^{-6} }{36 \cdot 10^{-4} } \right ) \approx \frac{10^{-7} }{3} 2,527 \cdot 10^{-2} Кл/м^{2} \approx 0m8423 \cdot 10^{-9} Кл/м^{2} \approx 842,3 пКл/м^{2}$
$E = \frac{D}{ \epsilon \epsilon_{0} } = \frac{842,3 \cdot 10^{-12} }{7 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} } \approx 13,6 В/м$

3) $r_{3} > R_{2}$
$DS = q$
$D 4 \pi r_{3}^{2} = \rho \frac{4}{3} \pi (R_{2}^{3} - R_{1}^{3} )$
$D = \frac{ \rho}{3 r_{3}^{2} } (R_{2}^{3} - R_{1}^{3} ) = \frac{10^{-7} }{3 \cdot 144 \cdot 10^{-4} } (10^{-3} - 125 \cdot 10^{-6} ) = \frac{10^{-3} }{432} (10^{-3}(1 - 0,125) ) = \frac{0,875}{432} 10^{-6} \approx 0,00202 \cdot 10^{-6} Кл/м^{2} \approx 2,02 нКл/м^{2}$
$E = \frac{D}{ \epsilon_{0} } = \frac{2,02 \cdot 10^{-9} }{8,85 \cdot 10^{-12} } \approx 0,2282 \cdot 10^{3} В/м \approx 228,2 В/м$.