ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-08-03   
Тонкий стержень длиной $l = 10 см$ заряжен с линейной плотностью $\tau = 400 нКл/м$. Найти напряженность $E$ электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенном через один из его концов, на расстоянии $r = 8 см$ от этого конца.


Решение:



$E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \epsilon r^{2} }; \epsilon = 1; dE = \frac{dQ}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }$;
$\tau = \frac{dQ}{dL}; dQ = \tau = \tau dL; dE = \frac{ \tau dL}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }$

Из $\Delta ABC: \cos \alpha = h/r; r = \frac{h}{ \cos \alpha}$;
Из $\Delta CHD: \cos \alpha = c/dL; dL = \frac{c}{ \cos \alpha}$;
Из $\Delta CAH: \sin d \alpha = c/r; c = r \sin d \alpha$;

$dL = \frac{r \sin d \alpha}{ \cos \alpha}; d \alpha \rightarrow 0 \Rightarrow dL = \frac{r d \alpha}{ \cos \alpha}$;
$dE = \frac{ \tau r d \alpha}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} \cos \alpha }; dE = \frac{ \tau d \alpha}{4 \pi \epsilon_{0} r \cos \alpha }; dE = \frac{ \tau d \alpha \cos \alpha}{4 \pi \epsilon_{0} h \cos \alpha }$;
$dE = \frac{ \tau d \alpha}{4 \pi \epsilon_{0} h}$;
$dE_{x} = dE \cos \alpha$;

Из $\Delta ABN: tg \alpha_{max} = l/h$;

$E{x} = \int_{0}^{arctg l/h} dE \cos \alpha = \int_{0}^{ arctg l/h} \frac{ \tau \cos \alpha}{4 \pi \epsilon_{0} h } d \alpha = \frac{ \tau }{4 \pi \epsilon_{0} h } \int_{0}^{ arctg l/h} \cos \alpha d \alpha = \frac{ \tau \sin (arctg l/h) }{4 \pi \epsilon_{0}h }$
$E_{x} = \frac{4 \cdot 10^{-7} \sin (arctg 0,1 / 0,08 ) }{4 \pi \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 0,08 } = 35,1 кВ/м$