ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-08-03   
Тонкий стержень длиной $l = 12 см$ заряжен с линейной плотностью $\tau = 200 нКл/м$. Найти напряженность $E$ электрического поля в точке, находящейся на расстоянии $r = 5 см$ от стержня против его середины.


Решение:



Косинус угла под которым видна точка В:

$\cos \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{R}{ \sqrt{R^{2} + r^{2} } }$

Элементарный заряа который сосредоточен на отрезке длины $dr$:

$dq = \tau dr$

Напряженность поля в рассматриваемой точке, в проекциях на оси координат

$E_{x} = \int \cos \alpha dE, E_{y} = \int \sin \alpha dE$
$E_{x} = \int \cos \alpha \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + r^{2} ) } dq, E_{y} = \int \sin \alpha \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + r^{2} ) } dq$
$E_{x} = \int \cos \alpha \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + r^{2} ) } dr, E_{y} = \int \sin \alpha \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + r^{2} ) } dr$
$E_{x} = \int_{ - L/2}^{L/2} R \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + r^{2} )^{3/2} } dr, E_{y} = \int_{- L/2}^{L/2} r \frac{ \tau}{4 \pi \epsilon_{0} (R^{2} + r^{2} )^{3/2} } dr$
$E_{x} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \tau L}{R \sqrt{R^{2} + \frac{L^{2} }{4} } }, E_{y} = 0$

Вектор напряженности направлен вдоль оси ОХ. Его модуль

$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{ \tau L}{R \sqrt{R^{2} + \frac{L^{2} }{4} } }$
$E = \frac{ \tau L}{2 \pi \epsilon_{0}R \sqrt{4R^{2} + L^{2} } }$
$E = 1,1 \cdot 10^{5} В/м$

Если

$\tau = 200 \cdot 10^{-9} Кл/м$
$\frac{ \tau L}{2 \pi \epsilon_{0}R \sqrt{4R^{2} + L^{2} } } = 5,52 \cdot 10^{4} В/м$