Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8986
2018-08-03 
На металлической сфере радиусом $R = 10 см$ находится заряд $Q = 1 нКл$. Определить напряженность $E$ электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии $r_{1} = 8 см$ от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии $r_{2} = 15 см$ от центра сферы. Построить график зависимости $E$ от $r$.
Решение:
Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности $\vec{E}$ сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную $\epsilon_{0}$.
$\oint_{S} E_{n}dS = \frac{q}{ \epsilon_{0} } $
1) Для определения напряженности $E_{1}$ на расстоянии $r_{1}$ от центра проведем сферическую поверхность $S_{1}$ радиусом $r_{1}$ ($r_{1} < R$). Внутри этой поверхности зарядов нет. Тогда согалсно теореме Гаусса
$\oint_{S_{1} } E_{n}dS = 0$, (1)
где $E_{n}$ - нормальная составляющая напряженности электрического поля.
Из соображений симметрии нормальная составляющая $E_{n}$ должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т.е. $E_{n} = E_{1} = const$. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид
$E_{1} \oint_{S_{1} }dS = 0$.
Т.к. площадь сферы не равна нулю, то $E_{1} = 0$, т.е. напряженность поля в точках, для которых $r_{1} < R$, равна нулю.
2) Найдем напряженность $E_{2}$ на поверхности сферы. Эта поверхность содержит заряд $Q$. Тогда, согласно теореме Гаусса
$\oint_{S_{2} } E_{n}dS = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$. (2)
Так как $E_{n} = E_{2} = const$, то из условий симметрии следует
$E_{2} \oint_{S_{2} } dS = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$ или $E_{2}S_{2} = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$ откуда $E_{2} = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S_{2} }$.
Подставив сюда выражение площади сферы $S_{2} = 2 \pi R^{2}$ получим:
$E_{2} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} }$ (3)
3) Проведем сферическую поверхность радиусом $r_{2}$. Эта поверхность охватывает заряд $Q$. Тогда, по теореме Гаусса:
$\oint_{S_{2} } E_{n}dS = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$
Учитываем, что $E_{n} = E_{3} = const; S_{3} = 4 \pi r_{2}^{2}$, получим:
$E_{3} 4 \pi r_{2}^{2} = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$, откуда $E_{3} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r_{2}^{2} }$ (4)
$E_{2} = \frac{10^{-9} }{4 \cdot 3,14 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 0,1^{2} } = 900 В/м$
$E_{3} = \frac{10^{-9} }{4 \cdot 3,14 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 0,15^{2} } = 400 В/м$
Построим график $E(r)$
На металлической сфере радиусом $R = 10 см$ находится заряд $Q = 1 нКл$. Определить напряженность $E$ электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии $r_{1} = 8 см$ от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии $r_{2} = 15 см$ от центра сферы. Построить график зависимости $E$ от $r$.
Решение:
Согласно теореме Гаусса поток вектора напряженности $\vec{E}$ сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную $\epsilon_{0}$.
$\oint_{S} E_{n}dS = \frac{q}{ \epsilon_{0} } $
1) Для определения напряженности $E_{1}$ на расстоянии $r_{1}$ от центра проведем сферическую поверхность $S_{1}$ радиусом $r_{1}$ ($r_{1} < R$). Внутри этой поверхности зарядов нет. Тогда согалсно теореме Гаусса
$\oint_{S_{1} } E_{n}dS = 0$, (1)
где $E_{n}$ - нормальная составляющая напряженности электрического поля.
Из соображений симметрии нормальная составляющая $E_{n}$ должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т.е. $E_{n} = E_{1} = const$. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид
$E_{1} \oint_{S_{1} }dS = 0$.
Т.к. площадь сферы не равна нулю, то $E_{1} = 0$, т.е. напряженность поля в точках, для которых $r_{1} < R$, равна нулю.
2) Найдем напряженность $E_{2}$ на поверхности сферы. Эта поверхность содержит заряд $Q$. Тогда, согласно теореме Гаусса
$\oint_{S_{2} } E_{n}dS = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$. (2)
Так как $E_{n} = E_{2} = const$, то из условий симметрии следует
$E_{2} \oint_{S_{2} } dS = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$ или $E_{2}S_{2} = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$ откуда $E_{2} = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S_{2} }$.
Подставив сюда выражение площади сферы $S_{2} = 2 \pi R^{2}$ получим:
$E_{2} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R^{2} }$ (3)
3) Проведем сферическую поверхность радиусом $r_{2}$. Эта поверхность охватывает заряд $Q$. Тогда, по теореме Гаусса:
$\oint_{S_{2} } E_{n}dS = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$
Учитываем, что $E_{n} = E_{3} = const; S_{3} = 4 \pi r_{2}^{2}$, получим:
$E_{3} 4 \pi r_{2}^{2} = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$, откуда $E_{3} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r_{2}^{2} }$ (4)
$E_{2} = \frac{10^{-9} }{4 \cdot 3,14 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 0,1^{2} } = 900 В/м$
$E_{3} = \frac{10^{-9} }{4 \cdot 3,14 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12} \cdot 0,15^{2} } = 400 В/м$
Построим график $E(r)$
