ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-08-02   
Определите точку пересечения водяных струй, бьющих навстречу друг другу из двух труб, если расстояние между трубами 2 м. Скорость истечения воды 6 м/с, трубы расположены под углами $30^{ \circ}$ и $60^{ \circ}$ к горизонту.


Решение:



Найдем уравнения траекторий струй (рис.).
Уравнения движения имеют вид:

$\Delta \vec{r}_{1} = \vec{v}_{01}t + \frac{ \vec{g}t^{2} }{2}$ и $\vec{r}_{2} = \vec{v}_{02}t + \frac{ \vec{g}t^{2} }{2}$.

Проекции уравнений на оси координат для струи из первой трубы:

$x_{1} = v_{01} \cos \alpha t, t = \frac{x_{1} }{v_{01} \cos \alpha }$,
$y_{1} = v_{01} \sin \alpha t - \frac{gt^{2} }{2}$,

откуда

$y_{1} = x_{1} tg \alpha 0 \frac{g}{2} \frac{x^{2} }{v_{01}^{2} \cos^{2} \alpha }$.

Для струи из второй трубы:

$x_{2} = x_{02} - v_{02} \cos \beta t, t = \frac{x_{02} - x_{0} }{v_{02} \cos \beta }$,
$y_{2} = v_{02} \sin \beta t - \frac{gt^{2} }{2}$,

откуда

$y_{2} = v_{02} \sin \beta \left ( \frac{x_{02} - x_{2} }{ v_{02} \cos \beta } \right ) - \frac{g}{2} \left ( \frac{x_{02} - x_{2} }{v_{02} \cos \beta } \right )^{2}$,
где $x_{02} = 2 м$.

Подставляя числовые данные, получаем

$y_{1} = 0,578x - 0,185x^{2}$ и $y_{2} = 1,24 + 0,49x - 0,55x^{2}$.

Струи пересекутся в точке, для которой

$y_{1} = y_{2} = y_{п}$;

получаем уравнение $37x^{2} + 8,8x - 124 = 0$, откуда $x_{п} = 1,7 м, y_{п} = 0,46 м$ — координаты точки пересечения струй воды.
Ответ: $x_{п} = 1,7 м; y_{п} = 0,46 м$. Струи пересекаются на расстоянии 1,7 м от трубы, установленной под углом $30^{ \circ}$, и на высоте 0,46 м.