ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-08-02   
Два тела массами $m_{1} = 1,5 кг$ и $m_{2} = 0,45 кг$ подвешены на нитях к разным концам легкого коромысла, длины плеч которого $l_{1} = 0,6 м$ и $l_{2} = 1 м$, причем тело $m_{1}$ лежит на полу (рис.). На какой минимальный угол $\alpha$ следует отклонить подвес тела $m_{2}$, чтобы после того, как его отпустили, тело $m_{1}$ оторвалось от пола?



Решение:



Чтобы тело $m_{1}$ оторвалось от пола, сила натяжения нити $T$ (рис.) должна удовлетворять условию

$m_{1}g l_{1} \leq Tl_{2}$. (1)

Запишем для тела $m_{2}$ основной закон динамики:

$m_{2} \vec{a} = \vec{T} + m_{2} \vec{g}$.

Проецируя это уравнение на ось у, получаем

$m_{2}a = T - mg$,
$m_{2} \frac{v^{2} }{R} = T - mg$. (2)

Воспользовавшись законом сохранения механической энергии $W_{I} = W_{II}$, где $W_{I} = mgR(1 - \cos \alpha), W_{II} = \frac{mv^{2} }{2}$ - механическая энергия тела $m_{2}$ в положении I и в положении II соответственно, имеем

$mgR(1 - \cos \alpha) = \frac{mv^{2} }{2}$,
$v^{2} = 2gR(1 - \cos \alpha)$. (3)

Подставив выражение (3) в (2), находим

$T = m_{2}g(3 - 2 \cos \alpha)$. (4)

Подставив выражение (4) в (1), находим

$m_{1}l_{1} = m_{2}(3 - 2 \cos \alpha)l_{2}$,
$\cos \alpha = \frac{3}{2} - \frac{m_{1}l_{1} }{2m_{2}l_{2} }, \cos \alpha = \frac{1}{2}, \alpha = 60^{ \circ}$.