ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-08-02   
Отрезок проволоки сопротивлением $R$ подключен к источнику питания $\mathcal{E}$ так, что оба конца отрезка соединены с одним выводом источника питания, а другой вывод может перемещаться вдоль проволоки при надежном электрическом контакте. Чему равен минимальный ток $I_{мин}$?


Решение:


Два отрезка проволоки, один из которых имеет сопротивление $R_{x}$, а другой $R - R_{x}$, соединены параллельно. Определим их общее сопротивление:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_{x} } + \frac{1}{R - R_{x}}$,
$R_{общ} = \frac{R_{x}(R - R_{x} ) }{R}$.

Ток в цепи находим согласно закону Ома:

$I = \frac{ \mathcal{E} }{R_{общ}} = \frac{ \mathcal{E}R }{R_{x}( R - R_{x} ) }$. (1)

Минимальный ток $I_{мин}$ будет при максимальном значении знаменателя в выражении (1). Условием максимума выражения $f = R_{x} R - R_{x}^{2}$, является равенство нулю производной $f^{ \prime}$:

$f^{ \prime} = R - 2R_{x} = 0$,

откуда $R_{x} = \frac{R}{2}$. Тогда

$I_{мин} = \frac{ \mathcal{E}R }{ \frac{R}{2} \left ( R - \frac{R}{2} \right ) } = \frac{4 \mathcal{E}}{R}$.