Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 898
2016-09-17 
Автобус и велосипедист едут по одной прямой дороге в одном направлении с постоянными скоростями 63 км/ч и 33 км/ч. Грузовик едет по другой прямой дороге с постоянной скоростью 52 км/ч. Расстояние от грузовика до автобуса всё время равно расстоянию от грузовика до велосипедиста. Найдите скорость грузовика
относительно автобуса.
Решение:
Автобус, велосипедист и грузовик в каждый момент времени образуют равнобедренный треугольник, основание которого лежит на дороге, по которой едут автобус и велосипедист (см. рис.). Направим ось $X$ вдоль этой дороги в направлении движения автобуса и велосипедиста, а ось $Y$ — перпендикулярно к ней. Тогда законы движения транспортных средств имеют вид:
Для автобуса: $x_{A}(t) = x_{A}^{0} + v_{A}t, y_{A}t = 0$.
Для велосипедиста: $x_{B}(t) = x_{B}^{0} + v_{B}t, y_{B}(t) = 0$.
Для грузовика:$x_{ \Gamma}(t) = \frac{x_{A}^{0} + x_{B}^{0}}{2} + \frac{v_{A}+v_{B}}{2}t, y_{ \Gamma}(t) = y_{ \Gamma}^{0} + v_{ \Gamma}^{y}t$.
Здесь верхними индексами «0» снабжены начальные координаты и скорости, буквами $A, B$, и $\Gamma$ обозначены величины, относящиеся к автобусу,
велосипедисту и грузовику соответственно, а $v_{ \Gamma}^{y}$ — проекция скорости грузовика на ось $Y$. Заметим, что выражение для $x_{ \Gamma}(t)$
получается из тех соображений, что грузовик всё время находится в вершине равнобедренного треугольника, противоположной его основанию. Из этого, в частности, следует, что проекция скорости грузовика на ось $X$ равна $\frac{ v_{A} + V_{B}}{2}$. Из условия задачи нам известен модуль скорости грузовика $\v_{ \Gamma}$, которая связана со своими компонентами формулой: $v_{ \Gamma}^{2} = \left ( \frac{v_{A} + V_{B}}{2} \right )^{2} + (v_{ \Gamma}^{y})^{2}$. Отсюда проекция скорости грузовика на ось $Y$ равна $v_{ \Gamma}^{y} = \sqrt{ v_{ \Gamma}^{2} - \left ( \frac{v_{A} + v_{B}}{2} \right )^{2}}$.
Теперь мы знаем обе компоненты скорости грузовика, и найти скорость грузовика относительно автобуса не составляет труда. По теореме Пифагора, применённой
к треугольнику скоростей, имеем
$v_{отн}^{2} = \left ( v_{A} + \frac{v_{A}+v_{B}}{2} \right )^{2} + (v_{ \Gamma}^{y})^{2}$.
откуда, с учетом выражения для $v_{ \Gamma}^{y}$, находим
$v_{отн} = \sqrt{v_{ \Gamma}^{2} - v_{A} \cdot v_{B}} = 25 км/ч$.
Автобус и велосипедист едут по одной прямой дороге в одном направлении с постоянными скоростями 63 км/ч и 33 км/ч. Грузовик едет по другой прямой дороге с постоянной скоростью 52 км/ч. Расстояние от грузовика до автобуса всё время равно расстоянию от грузовика до велосипедиста. Найдите скорость грузовика
относительно автобуса.
Решение:
Автобус, велосипедист и грузовик в каждый момент времени образуют равнобедренный треугольник, основание которого лежит на дороге, по которой едут автобус и велосипедист (см. рис.). Направим ось $X$ вдоль этой дороги в направлении движения автобуса и велосипедиста, а ось $Y$ — перпендикулярно к ней. Тогда законы движения транспортных средств имеют вид:
Для автобуса: $x_{A}(t) = x_{A}^{0} + v_{A}t, y_{A}t = 0$.
Для велосипедиста: $x_{B}(t) = x_{B}^{0} + v_{B}t, y_{B}(t) = 0$.
Для грузовика:$x_{ \Gamma}(t) = \frac{x_{A}^{0} + x_{B}^{0}}{2} + \frac{v_{A}+v_{B}}{2}t, y_{ \Gamma}(t) = y_{ \Gamma}^{0} + v_{ \Gamma}^{y}t$.
Здесь верхними индексами «0» снабжены начальные координаты и скорости, буквами $A, B$, и $\Gamma$ обозначены величины, относящиеся к автобусу,
велосипедисту и грузовику соответственно, а $v_{ \Gamma}^{y}$ — проекция скорости грузовика на ось $Y$. Заметим, что выражение для $x_{ \Gamma}(t)$
получается из тех соображений, что грузовик всё время находится в вершине равнобедренного треугольника, противоположной его основанию. Из этого, в частности, следует, что проекция скорости грузовика на ось $X$ равна $\frac{ v_{A} + V_{B}}{2}$. Из условия задачи нам известен модуль скорости грузовика $\v_{ \Gamma}$, которая связана со своими компонентами формулой: $v_{ \Gamma}^{2} = \left ( \frac{v_{A} + V_{B}}{2} \right )^{2} + (v_{ \Gamma}^{y})^{2}$. Отсюда проекция скорости грузовика на ось $Y$ равна $v_{ \Gamma}^{y} = \sqrt{ v_{ \Gamma}^{2} - \left ( \frac{v_{A} + v_{B}}{2} \right )^{2}}$.
Теперь мы знаем обе компоненты скорости грузовика, и найти скорость грузовика относительно автобуса не составляет труда. По теореме Пифагора, применённой
к треугольнику скоростей, имеем
$v_{отн}^{2} = \left ( v_{A} + \frac{v_{A}+v_{B}}{2} \right )^{2} + (v_{ \Gamma}^{y})^{2}$.
откуда, с учетом выражения для $v_{ \Gamma}^{y}$, находим
$v_{отн} = \sqrt{v_{ \Gamma}^{2} - v_{A} \cdot v_{B}} = 25 км/ч$.
