Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8978
2018-08-02 
На дне круглого колодца глубиной $h$ взрывается граната. Каким должен быть минимальный диаметр $d_{мин}$ колодца, чтобы человек, стоящий на его краю, остался невредимым? Максимальная скорость осколков $v_{0}$.
Решение:
Уравнение движения осколка
$\Delta \vec{r} = \vec{v}_{0}t + \frac{ \vec{g}t^{2} }{2}$. (1)
Направим ось х горизонтально, а ось у — вертикально вверх. В проекциях на оси х и у уравнение (1) имеет вид
$x = v_{0} \cos \alpha t$ (2)
$y = v_{0} \sin \alpha t - \frac{gt^{2} }{2}$. (3)
Найдем уравнение траектории у(х). Из уравнения (2) находим $t = \frac{x}{v_{0} \cos \alpha }$ и подставляем в (3):
$y = x tg \alpha - \frac{gx^{2} }{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha 2 }$.
Воспользуемся формулой $\frac{1}{ \cos^{2} \alpha } = 1 + tg^{2} \alpha$ и получим:
$y = x tg \alpha - \frac{gx^{2} tg^{2} \alpha }{2v_{0}^{2} } - \frac{gx^{2} }{2v_{0}^{2} }$ (4)
Подставив $y = h$ и $x = \frac{d}{2}$, приводим уравнение (4) к виду
$tg^{2} \alpha - \frac{4v_{0}^{2} }{gd} tg \alpha + \left ( \frac{8v_{0}^{2}h }{gd^{2} } + 1 \right ) = 0$.
Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо, чтобы что уравнение не имело корней, т. е. его дискриминант должен быть отрицательным. Тохда получаем
$d^{2} \geq \frac{4v_{0}^{2} }{g^{2} } (v_{0}^{2} - 2gh ), d \geq \frac{2v_{0} }{g} \sqrt{v_{0}^{2} - 2gh }$.
Для случая $v_{0}^{2} < 2gh$, очевидно, диаметр колодца может быть любым, поскольку наибольшая высота подъема любого осколка меньше глубины колодца.
Ответ: Если $v_{0}^{2} < 2gh$, то диаметр может быть любым; если $v_{0}^{2} > 2gh$, то $d_{мин} \geq \frac{2v_{0} }{g} \sqrt{v_{0}^{2} - 2gh } = 2 \sqrt{ \frac{2h}{g} } \sqrt{ v_{0}^{2} - 2gh }$.
На дне круглого колодца глубиной $h$ взрывается граната. Каким должен быть минимальный диаметр $d_{мин}$ колодца, чтобы человек, стоящий на его краю, остался невредимым? Максимальная скорость осколков $v_{0}$.
Решение:
Уравнение движения осколка
$\Delta \vec{r} = \vec{v}_{0}t + \frac{ \vec{g}t^{2} }{2}$. (1)
Направим ось х горизонтально, а ось у — вертикально вверх. В проекциях на оси х и у уравнение (1) имеет вид
$x = v_{0} \cos \alpha t$ (2)
$y = v_{0} \sin \alpha t - \frac{gt^{2} }{2}$. (3)
Найдем уравнение траектории у(х). Из уравнения (2) находим $t = \frac{x}{v_{0} \cos \alpha }$ и подставляем в (3):
$y = x tg \alpha - \frac{gx^{2} }{v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha 2 }$.
Воспользуемся формулой $\frac{1}{ \cos^{2} \alpha } = 1 + tg^{2} \alpha$ и получим:
$y = x tg \alpha - \frac{gx^{2} tg^{2} \alpha }{2v_{0}^{2} } - \frac{gx^{2} }{2v_{0}^{2} }$ (4)
Подставив $y = h$ и $x = \frac{d}{2}$, приводим уравнение (4) к виду
$tg^{2} \alpha - \frac{4v_{0}^{2} }{gd} tg \alpha + \left ( \frac{8v_{0}^{2}h }{gd^{2} } + 1 \right ) = 0$.
Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо, чтобы что уравнение не имело корней, т. е. его дискриминант должен быть отрицательным. Тохда получаем
$d^{2} \geq \frac{4v_{0}^{2} }{g^{2} } (v_{0}^{2} - 2gh ), d \geq \frac{2v_{0} }{g} \sqrt{v_{0}^{2} - 2gh }$.
Для случая $v_{0}^{2} < 2gh$, очевидно, диаметр колодца может быть любым, поскольку наибольшая высота подъема любого осколка меньше глубины колодца.
Ответ: Если $v_{0}^{2} < 2gh$, то диаметр может быть любым; если $v_{0}^{2} > 2gh$, то $d_{мин} \geq \frac{2v_{0} }{g} \sqrt{v_{0}^{2} - 2gh } = 2 \sqrt{ \frac{2h}{g} } \sqrt{ v_{0}^{2} - 2gh }$.
