ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-08-02   
Найдите ускорение тела массой $M_{1}$ в системе блоков на рис. Массы тел $M_{2}$ и $M_{3}$ известны. Массами блоков пренебречь.



Решение:



Уравнения движения для тел с массами $M_{1}, M_{2}$ и $M_{3}$ в проекции на ось у имеют вид (рис.)

$M_{1}a_{1} = M_{1}g - T_{1}$, (1)
$M_{2}a_{2} = M_{2}g - T_{2}$, (2)
$-M_{3}a_{3} = M_{3}g - T_{3}$, (3)

где $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ - ускорения тел $M_{1}, M_{2}$ и $M_{3}$ относительно неподвижного блока А. Ускорение блока В в проекции на ось у равно ($- a_{1}$). Ускорения грузов $M_{2}$ и $M_{3}$ относительно блока В равны и противоположны по направлению. Обозначим через $b$ проекцию на ось у ускорения тела $M_{2}$ относительно блока В. Тогда

$-a_{3} = - a_{1} - b$ и $a_{2} = - a_{1} + b, a_{2} - a_{3} = - 2a_{1}$. (4)

Следует отметить, что $T_{2} = T_{3} = \frac{T_{1} }{2} = \frac{T}{2}$.
Решая совместно уравнения (1) - (4), получаем:

$-2a_{1} = a_{2} - a_{3} = \left ( g - \frac{T}{2M_{2} } \right ) + \left ( g - \frac{T}{2M_{3} } \right )$,
$a_{1} = \frac{T}{4M_{2} } + \frac{T}{4M_{3} } - g$.

Подставив выражение для $a_{1}$ в уравнение (1), находим

$T = \frac{2M_{1}g }{ \left ( \frac{M_{1} }{4M_{2} } + \frac{M_{1} }{4M_{3} } + 1 \right ) }$,

откуда

$a_{1} = g - \frac{T}{M_{1} } = \frac{M_{1}M_{2} + M_{1}M_{3} - 4M_{2}M_{3} }{M_{1}M_{2} + M_{1}M_{3} + 4M_{2}M_{3} }g$.