2016-09-17
Колобок, имеющий форму шара, застигнут дождём в точке $A$ (см. рисунок). Капли дождя имеют вертикальную скорость, равную $V$, а горизонтальную — равную $v$ и направленную под углом $\phi$ к направлению $AB$ (в точке $B$ находится дом Колобка). С какой скоростью Колобок должен бежать по линии $AB$, чтобы как можно меньше промокнуть?
Решение:
Масса воды $m$, попавшей на Колобка, зависит от скорости $v_{отн}$ капель дождя относительно него и времени движения $t$ от $A$ до $B$: $m \sim v_{отн} t= v_{отн} \frac{|AB|}{u}$, где $u$ — скорость Колобка. В соответствии с правилом сложения скоростей, $v_{отн} = \sqrt{V^{2} + v^{2} + u^{2} - 2 uv \cos \phi}$,
поэтому
$m \sim \sqrt{ \frac{V^{2}+v^{2}+u^{2} - 2uv \cos \phi}{u^{2}}} \sim \sqrt{ \frac{V^{2}+v^{2}}{u^{2}} - \frac{2v \cos \phi}{u} + \frac{v^{2} \cos^{2} \phi}{V^{2}+v^{2}} + 1 - \frac{v^{2} \cos \phi}{V^{2}+v^{2}}} \sim \sqrt{ (V^{2}+v^{2}) \left ( \frac{1}{u} - \frac{v \cos \phi}{V^{2}+v^{2}} \right )^{2} + 1 - \frac{v^{2} \cos^{2} \phi}{V^{2} + v^{2}}}$.
Отсюда следует, что при $| \phi| < \pi/2$ искомая скорость, при которой Колобок меньше всего промокнет, равна $u = \frac{V^{2}+ v^{2}}{v \cos \phi}$.
При $| \phi| > \pi/2$ величина $\cos \phi < 0$, минимума $y$ функции $m(u)$ при $u > 0$ нет, и Колобку выгодно бежать как можно быстрее.