Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8954
2018-08-02 
Покажите, что переднее и заднее фокусные расстояния линзы, изготовленной из материала с показателем преломления $n$ и расположенной на границе раздела двух сред с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$, даются выражениями соответственно
$\frac{n_{1} }{F_{1} } = \frac{n - n_{1} }{R_{1} } + \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$ и $\frac{n_{2} }{F_{2} } = \frac{n - n_{1} }{R_{1} } + \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$,
где $R_{1}$ и $R_{2}$ - радиусы кривизны соответственно передней и задней поверхностей линзы.
Решение:
Пусть две среды с показателями преломления $n_{1}$ и $n$ разделены сферической поверхностью (рис. а). A светящаяся точка, К ее изображение. Предположим, что падающий луч параксиальный, т. е. составляет с оптической осью очень малый угол $\phi_{1}$, тогда углы $\alpha, \beta, \gamma$ и $\phi_{2}$ также очень малы, и можно считать
$BD = d_{1} \phi{1} = f_{1} \phi{2} = R_{1} \gamma$, (1)
$\alpha n_{1} = \beta n \left ( \frac{n}{n_{1} } = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} \approx \frac{ \alpha}{ \beta} \right )$. (2)
Из треугольника АВС угол $\angle ABC = \pi - \alpha = \pi - ( \gamma + \phi_{1} )$, откуда
$\alpha = \phi_{1} + \gamma$. (3)
Из треугольника АВК угол $\angle ABK = \pi - \alpha + \beta = \pi - ( \phi_{1} - \phi_{2})$, откуда
$\alpha - \beta = \phi_{1} + \phi_{2}$. (4)
Из формул (1)-(4) находим:
$\alpha = \gamma + \phi_{1} = \frac{BD}{R_{1} } + \frac{BD}{d_{1} }$,
$\beta = \gamma - \phi_{2} = \frac{BD}{R_{1} } - \frac{BD}{f}$.
Подставив эти выражения в формулу (2), поело сокращения на BD получим формулу преломляющей сферической поверхности:
$\frac{n - n_{1} }{R_{1} } = - \frac{n_{1} }{d_{1} } + \frac{n}{f_{1} }$. (5)
Для второй поверхности радиусом $R_{2}$ точка К является как бы мнимым источником света. Построение изображения этого источника после преломления на второй поверхности линзы дает изображение S на расстоянии $f_{2}$ от оптического центра линзы. Здесь опять применима формула
$\frac{n}{f_{1} } - \frac{n_{2} }{f_{2} } = - \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$. (6)
Направления отрезков отсчитываем от точки О, по лучу — положительные, против луча - отрицательные. Из уравнений (5) и (6) находим, что
$\frac{n_{2} }{f_{2} } - \frac{n_{1} }{d_{1} } = \frac{n - n_{1} }{R_{1} } + \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$.
Так как оптические свойства среды до и после линзы различны, то
$\frac{n_{2} }{f_{2} } - \frac{n_{1} }{d_{1} } = \frac{n_{2} }{F_{2} } = \frac{n_{1} }{F_{1} }$,
где $F_{1}$ и $F_{2}$ - переднее и заднее фокусное расстояния, они различны и пропорциональны коэффициентам преломления обеих сред, поскольку $\frac{ \sin \alpha_{1} }{ \sin \beta_{1} } = \frac{n}{n_{1} } \approx \frac{ \alpha_{1} }{ \beta_{1} }$ и $\frac{ \sin \alpha_{2} }{ \sin \beta_{2} } = \frac{n_{2} }{n} \approx \frac{ \alpha_{2} }{ \beta_{2} }$ (рис. б). Окончательно
$\frac{n_{1} }{F_{1} } = \frac{n - n_{1} }{R_{1} } + \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$ и $\frac{n_{2} }{F_{2} } = \frac{n - n_{1} }{R_{1} } + \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$.
Покажите, что переднее и заднее фокусные расстояния линзы, изготовленной из материала с показателем преломления $n$ и расположенной на границе раздела двух сред с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$, даются выражениями соответственно
$\frac{n_{1} }{F_{1} } = \frac{n - n_{1} }{R_{1} } + \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$ и $\frac{n_{2} }{F_{2} } = \frac{n - n_{1} }{R_{1} } + \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$,
где $R_{1}$ и $R_{2}$ - радиусы кривизны соответственно передней и задней поверхностей линзы.
Решение:
Пусть две среды с показателями преломления $n_{1}$ и $n$ разделены сферической поверхностью (рис. а). A светящаяся точка, К ее изображение. Предположим, что падающий луч параксиальный, т. е. составляет с оптической осью очень малый угол $\phi_{1}$, тогда углы $\alpha, \beta, \gamma$ и $\phi_{2}$ также очень малы, и можно считать
$BD = d_{1} \phi{1} = f_{1} \phi{2} = R_{1} \gamma$, (1)
$\alpha n_{1} = \beta n \left ( \frac{n}{n_{1} } = \frac{ \sin \alpha}{ \sin \beta} \approx \frac{ \alpha}{ \beta} \right )$. (2)
Из треугольника АВС угол $\angle ABC = \pi - \alpha = \pi - ( \gamma + \phi_{1} )$, откуда
$\alpha = \phi_{1} + \gamma$. (3)
Из треугольника АВК угол $\angle ABK = \pi - \alpha + \beta = \pi - ( \phi_{1} - \phi_{2})$, откуда
$\alpha - \beta = \phi_{1} + \phi_{2}$. (4)
Из формул (1)-(4) находим:
$\alpha = \gamma + \phi_{1} = \frac{BD}{R_{1} } + \frac{BD}{d_{1} }$,
$\beta = \gamma - \phi_{2} = \frac{BD}{R_{1} } - \frac{BD}{f}$.
Подставив эти выражения в формулу (2), поело сокращения на BD получим формулу преломляющей сферической поверхности:
$\frac{n - n_{1} }{R_{1} } = - \frac{n_{1} }{d_{1} } + \frac{n}{f_{1} }$. (5)
Для второй поверхности радиусом $R_{2}$ точка К является как бы мнимым источником света. Построение изображения этого источника после преломления на второй поверхности линзы дает изображение S на расстоянии $f_{2}$ от оптического центра линзы. Здесь опять применима формула
$\frac{n}{f_{1} } - \frac{n_{2} }{f_{2} } = - \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$. (6)
Направления отрезков отсчитываем от точки О, по лучу — положительные, против луча - отрицательные. Из уравнений (5) и (6) находим, что
$\frac{n_{2} }{f_{2} } - \frac{n_{1} }{d_{1} } = \frac{n - n_{1} }{R_{1} } + \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$.
Так как оптические свойства среды до и после линзы различны, то
$\frac{n_{2} }{f_{2} } - \frac{n_{1} }{d_{1} } = \frac{n_{2} }{F_{2} } = \frac{n_{1} }{F_{1} }$,
где $F_{1}$ и $F_{2}$ - переднее и заднее фокусное расстояния, они различны и пропорциональны коэффициентам преломления обеих сред, поскольку $\frac{ \sin \alpha_{1} }{ \sin \beta_{1} } = \frac{n}{n_{1} } \approx \frac{ \alpha_{1} }{ \beta_{1} }$ и $\frac{ \sin \alpha_{2} }{ \sin \beta_{2} } = \frac{n_{2} }{n} \approx \frac{ \alpha_{2} }{ \beta_{2} }$ (рис. б). Окончательно
$\frac{n_{1} }{F_{1} } = \frac{n - n_{1} }{R_{1} } + \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$ и $\frac{n_{2} }{F_{2} } = \frac{n - n_{1} }{R_{1} } + \frac{n - n_{2} }{R_{2} }$.
