ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-25   
Тонкая проволока в виде полукольца радиусом $R$ подвешена, как показано на рис. Определите период колебаний.



Решение:



Отклоним первоначально полукольцо на угол $\alpha_{0}$ и отпустим (рис. а). В тот момент, когда угол будет равен $\alpha$, кинетическая энергия полукольца равна

$W_{кин} = \frac{mR^{2} \omega^{2} }{2}$,

поскольку линейная скорость всех точек полукольца одинакова. Изменение потенциальной энергии равно

$\Delta W_{пот} = \frac{mg2R}{ \pi} ( \cos \alpha_{0} - \cos \alpha)$,

гак как центр тяжести полукольца $O_{1}$ находится па расстоянии $\frac{2R}{ \pi}$ от точки О. Согласно закону сохранения механической энергии,

$\Delta W_{пот} + \Delta W_{кин} = 0$,
$\frac{m \omega^{2}R^{2} }{2} = \frac{mg2R}{ \pi} ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0} )$,

откуда

$\omega = \sqrt{ \frac{2g}{( \pi R/2) } ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0} ) }$.

Для математического маятника длиной $l$ при тех же углах $\alpha_{0}$ и $\alpha$ (рис. б) имеем

$\Delta W_{пот} = - mg \Delta h = mgl ( \cos \alpha_{0} - \cos \alpha)$
и $\Delta W_{кин} = \frac{ml^{2} \omega^{2} }{2}$,

откуда получаем

$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{2g}{l} ( \cos \alpha - \cos \alpha_{0} ) }$.

Очевидно, что математический маятник, длиной $l = \frac{ \pi R}{2}$ будет иметь тот же период колебаний, что и полукольцо. Период колебаний полукольца

$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{ \pi R}{2g} }$.