Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8937
2018-07-25 
Цилиндрический сосуд с газом закрыт поршнем, масса которого $m$, а площадь поперечного сечения $S$. В равновесии поршень находится на высоте $l$ от дна сосуда. Поршень смещают на расстояние $h_{0}$ и отпускают. Температуру считать постоянной. Напишите уравнение колебаний.
Решение:
Поршень находится в положении равновесия при условии
$p = p_{0} + \frac{mg}{S}$, (1)
где $p_{0}$ - атмосферное давление, $p$ - давление газа в сосуде. При смещении поршня на $x$ объем газа в сосуде уменьшается, а давление возрастает на $\Delta p$. Для определения величины Ар воспользуемся законом Бойля- Мариотта для газа в сосуде:
$plS = (p + \Delta p)(l - x)S$,
откуда
$\Delta p = \frac{px}{l}$.
Уравнение второго закона Ньютона для поршня имеет вид:
$ma_{x} = - \Delta p S$,
$ma_{x} = - \frac{Spx}{l}$. (2)
Знак минус берется потому, что сила давления направлена в сторону, противоположную смещению. Подставив выражение (1) в (2), находим
$a_{x} = - \frac{mg + p_{0}S }{ml}x$,
что совпадает с уравнением гармонических колебаний $a_{x} = - \omega^{2}x$. Следовательно, поршень совершает гармонические колебания с частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{mg + p_{0}S }{ml} }$,
амплитудой $h_{0}$ и начальной фазой $\phi_{0}$.
$x = h_{0} \sin \left ( \sqrt{ \frac{mg + p_{0}S }{ml} } t + \phi_{0} \right )$.
Найдем $\phi_{0}$ из начальных условий: при $t = 0 x_{0} = h_{0}$
$x_{0} = h_{0} \sin \phi_{0} = h_{0}, \sin \phi_{0} = 1, \phi_{0} = \frac{ \pi}{2}$>
Окончательно
$x = h_{0} \sin \left ( \sqrt{ \frac{mg + p_{0}S }{ml} }t + \frac{ \pi}{2} \right )$.
Цилиндрический сосуд с газом закрыт поршнем, масса которого $m$, а площадь поперечного сечения $S$. В равновесии поршень находится на высоте $l$ от дна сосуда. Поршень смещают на расстояние $h_{0}$ и отпускают. Температуру считать постоянной. Напишите уравнение колебаний.
Решение:
Поршень находится в положении равновесия при условии
$p = p_{0} + \frac{mg}{S}$, (1)
где $p_{0}$ - атмосферное давление, $p$ - давление газа в сосуде. При смещении поршня на $x$ объем газа в сосуде уменьшается, а давление возрастает на $\Delta p$. Для определения величины Ар воспользуемся законом Бойля- Мариотта для газа в сосуде:
$plS = (p + \Delta p)(l - x)S$,
откуда
$\Delta p = \frac{px}{l}$.
Уравнение второго закона Ньютона для поршня имеет вид:
$ma_{x} = - \Delta p S$,
$ma_{x} = - \frac{Spx}{l}$. (2)
Знак минус берется потому, что сила давления направлена в сторону, противоположную смещению. Подставив выражение (1) в (2), находим
$a_{x} = - \frac{mg + p_{0}S }{ml}x$,
что совпадает с уравнением гармонических колебаний $a_{x} = - \omega^{2}x$. Следовательно, поршень совершает гармонические колебания с частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{mg + p_{0}S }{ml} }$,
амплитудой $h_{0}$ и начальной фазой $\phi_{0}$.
$x = h_{0} \sin \left ( \sqrt{ \frac{mg + p_{0}S }{ml} } t + \phi_{0} \right )$.
Найдем $\phi_{0}$ из начальных условий: при $t = 0 x_{0} = h_{0}$
$x_{0} = h_{0} \sin \phi_{0} = h_{0}, \sin \phi_{0} = 1, \phi_{0} = \frac{ \pi}{2}$>
Окончательно
$x = h_{0} \sin \left ( \sqrt{ \frac{mg + p_{0}S }{ml} }t + \frac{ \pi}{2} \right )$.
