ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-25   
Шарик с начальной высоты $h$ скользит без трения по двум наклонным плоскостям (рис.). Потери скорости при переходе шарика с одной плоскости на другую не происходит. Определите период колебаний шарика.



Решение:



Определим ускорение, с которым шарик будет скользить с наклонной плоскости (рис.). Второй закон Ньютона для шарика имеет вид:

$\vec{N}_{1} = m \vec{g} = m \vec{a}_{1}$,

или в проекции на ось х:

$mg \sin \alpha = ma_{1}$,

откуда $a_{1} = g \sin \alpha$. Время спуска шарика с наклонной плоскости, длина которой $S_{1}$, находим из формулы

$S_{1} = \frac{a_{1}t_{1}^{2} }{2}$,

где $S_{1} = \frac{h}{ \sin \alpha}$. Тогда

$\frac{h}{ \sin \alpha} = \frac{g \sin \alpha t_{1}^{2} }{2}$ и $t_{1} = \sqrt{ \frac{2h}{g \sin^{2} \alpha } }$.

Аналогично время спуска с другой наклонной плоскости равно

$t_{2} = \sqrt{ \frac{2h}{g \sin^{3} \beta } }$.

Очевидно, что высоты подъема на наклонные плоскости одинаковы, так как механическая энергия в системе сохраняется. Период колебаний шарика равен

$T = 2t_{1} + 2t_{2} = 2 \sqrt{ \frac{2h}{g} } \left ( \frac{1}{ \sin \alpha} + \frac{1}{ \sin \beta} \right )$,

поскольку времена спуска и подъема шарика на наклонную плоскость одинаковы.