Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8932
2018-07-25 
Шарик, подвешенный на невесомой пружине, совершает колебания с периодом $T$. Определите период колебаний, если шарик зарядили и всю систему поместили в однородное электрическое поле $\vec{E}$, силовые линии которого параллельны ускорению свободного падения $g$.
Решение:
Пусть па пружине жесткости $k$ подвешен шарик массой $m$. Поместим начало отсчета но оси х в точку, соответствующую равновесному положению шарика (рис. a). В этом положении благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на величину $x_{0}$, определяемую из условия равновесия:
$\vec{F}_{упр} + m \vec{g} = 0$,
или в проекции на ось х
$mg - kx_{0} = 0$, (1)
откуда $x_{0} = \frac{mg}{k}$.
При смещении шарика из положения равновесия, например, вниз на величину $x$, на него кроме силы тяжести $mg$ действует сила упругости, $| F_{упр} | = k(x + x_{0} )$. Применяя второй закон Ньютона в проекции иа ось х, получаем
$ma_{x} = mg - F_{упр} = mg - k(x + x_{0})$. (2)
С учетом уравнения (1) находим
$a_{x} = - \frac{k}{m}x$,
т. е. приходим к уравнению $a_{x} = - \omega^{2}x$, откуда $\omega^{2} = \frac{k}{m}$, а период колебаний
$T = \frac{2 \pi }{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
При колебаниях пружинного маятника в электрическом поле (рис. б). для равновесного положения запишем:
$m \vec{g} + \vec{F}_{эл} + \vec{F}_{упр} = 0;$
или в проекции на ось ч:
$mg + F_{эл} - kx_{0}^{ \prime} = 0$,
откуда
$x_{0}^{ \prime} = \frac{mg + F_{эл} }{k}$,
где $F_{эл} = |q|E, q$ - заряд шарика.
При смещении шарика из положения равновесия вниз на величину $x$ на него действует сила упругости $|F_{упр}| = k(x + x_{0}^{ \prime})$. Используя второй закон Ньютона в проекции на ось х, приходим к уравнению
$ma_{x} = mg + F_{эл} - F_{упр} = mg + F_{эл} - k(x + x_{0}^{ \prime})$. (4)
С учетом уравнения (3) уравнение (4) приводится к виду:
$a_{x} = - \frac{k}{m}x$,
т.е. приходим к уравнению $a_{x} = - \omega^{x}x$, где $\omega^{2} = \frac{k}{m}$, и период колебаний $T_{1} = \frac{2 \pi }{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
Ответ: период колебаний остается равным $T$, изменится лишь положение равновесия.
Шарик, подвешенный на невесомой пружине, совершает колебания с периодом $T$. Определите период колебаний, если шарик зарядили и всю систему поместили в однородное электрическое поле $\vec{E}$, силовые линии которого параллельны ускорению свободного падения $g$.
Решение:
Пусть па пружине жесткости $k$ подвешен шарик массой $m$. Поместим начало отсчета но оси х в точку, соответствующую равновесному положению шарика (рис. a). В этом положении благодаря действию силы тяжести пружина уже растянута на величину $x_{0}$, определяемую из условия равновесия:
$\vec{F}_{упр} + m \vec{g} = 0$,
или в проекции на ось х
$mg - kx_{0} = 0$, (1)
откуда $x_{0} = \frac{mg}{k}$.
При смещении шарика из положения равновесия, например, вниз на величину $x$, на него кроме силы тяжести $mg$ действует сила упругости, $| F_{упр} | = k(x + x_{0} )$. Применяя второй закон Ньютона в проекции иа ось х, получаем
$ma_{x} = mg - F_{упр} = mg - k(x + x_{0})$. (2)
С учетом уравнения (1) находим
$a_{x} = - \frac{k}{m}x$,
т. е. приходим к уравнению $a_{x} = - \omega^{2}x$, откуда $\omega^{2} = \frac{k}{m}$, а период колебаний
$T = \frac{2 \pi }{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
При колебаниях пружинного маятника в электрическом поле (рис. б). для равновесного положения запишем:
$m \vec{g} + \vec{F}_{эл} + \vec{F}_{упр} = 0;$
или в проекции на ось ч:
$mg + F_{эл} - kx_{0}^{ \prime} = 0$,
откуда
$x_{0}^{ \prime} = \frac{mg + F_{эл} }{k}$,
где $F_{эл} = |q|E, q$ - заряд шарика.
При смещении шарика из положения равновесия вниз на величину $x$ на него действует сила упругости $|F_{упр}| = k(x + x_{0}^{ \prime})$. Используя второй закон Ньютона в проекции на ось х, приходим к уравнению
$ma_{x} = mg + F_{эл} - F_{упр} = mg + F_{эл} - k(x + x_{0}^{ \prime})$. (4)
С учетом уравнения (3) уравнение (4) приводится к виду:
$a_{x} = - \frac{k}{m}x$,
т.е. приходим к уравнению $a_{x} = - \omega^{x}x$, где $\omega^{2} = \frac{k}{m}$, и период колебаний $T_{1} = \frac{2 \pi }{ \omega} = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k} }$.
Ответ: период колебаний остается равным $T$, изменится лишь положение равновесия.
