Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8931
2018-07-25 
Цилиндр высотой 10 см плавает в воде, погрузившись в нее на 2/3. Чему будет равен период колебаний системы, если на этот цилиндр поместить другой цилиндр из того же материала, но в 2 раза меньшего диаметра, вследствие чего первый цилиндр окажется полностью погруженным в воду?
Решение:
При смещении системы двух цилиндров относительно положения равновесия на величину $x$ действующая на цилиндры сила окажется равной; при смещении вверх (рис. в) $F_{1} = - \rho_{в}S_{1}gx$, при смещении вниз (рис. г) $F_{2} = - \rho_{в} S_{2}gx$. Знак минус означает, что сила направлена против смещения $x$. Согласно второму закону Ньютона,
$ma_{1} = - \rho_{в}S_{1}gx$ и $ma_{2} = - \rho_{в} S_{2}gx$, (1)
где $m = \rho (h_{1}S_{1} + h_{2}S_{2})$ - масса двух цилиндров, $\rho$ - плотность материала цилиндров. Из условия плавания первого цилиндра (рис. a) определим плотность его материала:
$m_{1}g = F_{выт}, \rho S_{1}h_{1}g = \rho_{в}S_{1} \frac{2}{3} h_{1}g$,
откуда
$\rho = \frac{2}{3} \rho_{в}$. (2)
Из условия плавания двух цилиндров (рис. б) определим высоту второго цилиндра:
$\rho (h_{1}S_{1} + h_{2}S_{2})g = \rho_{в} S_{1}h_{1}g$,
с учетом формулы (2) находим $2h_{1} = h_{2}$. Тогда из уравнений (1)
$a_{1} = - \frac{ \rho_{в}S_{1}g }{ \rho (h_{1}S_{1} + h_{2}S_{2} ) } x = - \frac{ \rho_{в}S_{1}g }{ \frac{2}{3} \rho_{в} \left ( h_{1}S_{1} + 2h_{1} \frac{S_{1} }{4} \right ) } x = \frac{}{} x$, (3)
$a_{2} = - \frac{ \rho_{в} S_{2}g }{ \rho (h_{1}S_{1} + h_{2}S_{2} ) }x = \frac{g}{4h_{1} }x$.
Сравнивая уравнения (3) и (4) с уравнением для собственной частоты колебаний $a_{x} = - \omega^{2}x$, получим:
$\omega_{1}^{2} = \frac{g}{h_{1} }$ и $\omega_{2} = \frac{g}{4h_{1} }$.
Тогда
$T = \frac{ \pi }{ \omega_{1} } + \frac{ \pi}{ \omega_{2} } = \pi \left ( \sqrt{ \frac{h_{1} }{g} } + 2 \sqrt{ \frac{h_{1} }{g} } \right ) = \pi 3 \sqrt{ \frac{h_{1} }{g} }, T = 0,94 с$.
Цилиндр высотой 10 см плавает в воде, погрузившись в нее на 2/3. Чему будет равен период колебаний системы, если на этот цилиндр поместить другой цилиндр из того же материала, но в 2 раза меньшего диаметра, вследствие чего первый цилиндр окажется полностью погруженным в воду?
Решение:
При смещении системы двух цилиндров относительно положения равновесия на величину $x$ действующая на цилиндры сила окажется равной; при смещении вверх (рис. в) $F_{1} = - \rho_{в}S_{1}gx$, при смещении вниз (рис. г) $F_{2} = - \rho_{в} S_{2}gx$. Знак минус означает, что сила направлена против смещения $x$. Согласно второму закону Ньютона,
$ma_{1} = - \rho_{в}S_{1}gx$ и $ma_{2} = - \rho_{в} S_{2}gx$, (1)
где $m = \rho (h_{1}S_{1} + h_{2}S_{2})$ - масса двух цилиндров, $\rho$ - плотность материала цилиндров. Из условия плавания первого цилиндра (рис. a) определим плотность его материала:
$m_{1}g = F_{выт}, \rho S_{1}h_{1}g = \rho_{в}S_{1} \frac{2}{3} h_{1}g$,
откуда
$\rho = \frac{2}{3} \rho_{в}$. (2)
Из условия плавания двух цилиндров (рис. б) определим высоту второго цилиндра:
$\rho (h_{1}S_{1} + h_{2}S_{2})g = \rho_{в} S_{1}h_{1}g$,
с учетом формулы (2) находим $2h_{1} = h_{2}$. Тогда из уравнений (1)
$a_{1} = - \frac{ \rho_{в}S_{1}g }{ \rho (h_{1}S_{1} + h_{2}S_{2} ) } x = - \frac{ \rho_{в}S_{1}g }{ \frac{2}{3} \rho_{в} \left ( h_{1}S_{1} + 2h_{1} \frac{S_{1} }{4} \right ) } x = \frac{}{} x$, (3)
$a_{2} = - \frac{ \rho_{в} S_{2}g }{ \rho (h_{1}S_{1} + h_{2}S_{2} ) }x = \frac{g}{4h_{1} }x$.
Сравнивая уравнения (3) и (4) с уравнением для собственной частоты колебаний $a_{x} = - \omega^{2}x$, получим:
$\omega_{1}^{2} = \frac{g}{h_{1} }$ и $\omega_{2} = \frac{g}{4h_{1} }$.
Тогда
$T = \frac{ \pi }{ \omega_{1} } + \frac{ \pi}{ \omega_{2} } = \pi \left ( \sqrt{ \frac{h_{1} }{g} } + 2 \sqrt{ \frac{h_{1} }{g} } \right ) = \pi 3 \sqrt{ \frac{h_{1} }{g} }, T = 0,94 с$.
