Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 893
2016-09-17 
Материальная точка движется вдоль прямой. Постройте графики зависимостей скорости и координаты точки от времени, если график зависимости её скорости у от координаты х представляет собой: а) прямоугольник; б) окружность (при определённом выборе масштабов осей).
Решение:
рис.1
а) Пусть в начальный момент времени координата материальной точки равна 0, а её скорость $v = v_{0}$ (точка $A$ на зависимости $v(x)$, рис. 1). Тогда через маленький промежуток времени $\Delta t$ координата $x$ материальной точки станет равной $v_{0} \Delta t > 0$. Это соответствует тому, что точка на нашем графике $v(x)$ будет смещаться вправо. Так будет продолжаться до момента времени $\Delta t_{1} = x_{0}/v_{0}$, после которого знак скорости изменится: вместо $v = v_{0}$ станет $v = -v_{0}$. Таким образом, в течение времени $\Delta t_{1}$ материальная точка будет двигаться с постоянной
скоростью $v_{0}$.
рис.2
Затем в течение времени $\Delta t_{2} = 2x_{0}/v_{0}$ материальная точка будет двигаться с постоянной скоростью $-v_{0}$, после чего знак скорости вновь изменится — она станет равной $v_{0}$. Далее материальная точка будет двигаться с этой скоростью в течение времени $\Delta t_{3} = x_{0}/v_{0}$, после чего вернётся в исходное положение, и цикл движения повторится. График зависимости скорости от времени $v(t)$, соответствующий описанному движению, приведён на
рис.3
По полученному графику $v(t)$ легко построить график зависимости координаты от времени $x(t)$. Действительно, «ступеньки» графика $v(t)$ соответствуют движениям с постоянными скоростями $v_{0}$ или $— v_{0}$. При движении с постоянной скоростью зависимость координаты от времени даётся формулой $x = x(0) + vt$. В начале движения $x(0) = 0$, и $x = v_{0}t$. Через время $\Delta t_{1}$ координата материальной точки станет равной $x_{0}$, а скорость примет значение $-v_{0}$, то есть зависимость $x(t)$ будет даваться формулой $x = 2x_{0} - v_{0}t$. Такая зависимость будет справедлива в течение промежутка времени $\Delta t_{2}$, после чего координата станет равна $—x_{0}$, а скорость примет значение $v_{0}$. В результате зависимость $x(t)$ приобретёт вид $x = -4x_{0} + v_{0}t$. График зависимости $x(t)$ приведён на рис. 3. Это периодическое движение с периодом
$T = \Delta t_{1} + \Delta t_{2} + \Delta t_{3} = \frac{4x_{0}}{v_{0}}$.
В заключение остановимся на вопросе о практической реализации такого движения. Понятно, что в реальности оно существовать не может, так как мгновенная смена знака скорости при $x = x_{0}$ и $x = — x_{0}$ означает, что в данные моменты времени материальная точка имеет бесконечно большое ускорение. Однако, можно представить себе движение, близкое к тому, о котором идёт речь в условии. Это может быть, например, движение маленького шарика, который в отсутствие сил тяжести и трения летает по прямой между двумя параллельными стенками, испытывая с ними абсолютно упругие соударения.
рис.4
б) Обозначим на графике $v(x)$ начало координат точкой $O$ (см. рис. 4), а радиус окружности через $R$. Тогда, очевидно, можно записать:
$R = k_{1}x_{0} =k_{2}v_{0}$,
где $k_{1}$ и $k_{2}$ — положительные размерные масштабные коэффициенты.
Пусть в некоторый момент времени скорость и координата материальной точки таковы, что они соответствуют на графике $v(x)$ точке $A$ с координатами $(k_{1}x_{A}, k_{2}v_{A})$ - Обозначим угол, который составляет радиус $OA$ с осью $Ov$, через $\alpha$. Так как в рассматриваемый момент времени скорость материальной точки положительна, то за малое время $\Delta t$ она сместится на положительное расстояние $\Delta x$, что соответствует на графике точке $A^{ \prime}$. Это означает, что радиус $OA$ повернётся по часовой стрелке, и угол, который он составляет с осью $Ov$, изменится на величину $\Delta \alpha$. При этом координаты точки $A$ изменятся на величины $k_{1} \Delta x$ и $k_{2} \Delta v$. Так как промежуток времени $\Delta t$ мал, то дугу окружности $AA^{ \prime} = R \Delta \alpha$ можно приближённо заменить на хорду $AA^{ \prime}$. Тогда из прямоугольного треугольника $ACA^{ \prime}$ получаем: $k_{1} \Delta x \approx R \Delta \alpha \cos \alpha$, откуда $\Delta x = x_{0} \Delta \alpha \cos \alpha = v_{A} \Delta t$. Но, с другой стороны, как видно из чертежа, $k_{2}v_{A} = R \cos \alpha = k_{2} v_{0} \cos \alpha$, откуда $v_{A} = v_{0} \cos \alpha$.
Подставляя $v_{A}$ в выражение для $\Delta x$, получаем $x_{0} \Delta \alpha \cos \alpha = v_{0} \cos \alpha \cdot \Delta t$, откуда $\frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t} = \frac{v_{0}}{x_{0}} = \omega = const$, то есть радиус $AO$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = v_{0}/x_{0}$.
Следовательно, угол $\alpha$ возрастает со временем по линейному закону: $\alpha = \alpha_{0} + \omega t$, где постоянная величина $\alpha_{0}$ соответствует начальному положению точки $A$ на окружности. С учётом этого получаем $k_{1}x_{A} = R \sin \alpha = k_{1}x_{0} \sin \alpha$, откуда
$x_{A} = x_{0} \sin \alpha = x_{0} \sin ( \alpha_{0} + \omega t) = x_{0} \sin \left ( \alpha_{0} + \frac{v_{0}}{x_{0}} t \right )$
и аналогично
$v_{A} = v_{0} \sin \alpha = v_{0} \sin ( \alpha_{0} + \omega t) = v_{0} \sin \left ( \alpha_{0} + \frac{v_{0}}{x_{0}} t \right )$
рис.5
рис.6
Из полученных зависимостей следует, что материальная точка совершает гармоническое колебание с амплитудой $x_{0}$ и периодом $T = 2 \pi / \omega = 2 \pi x_{0}/v_{0}$.
Графики зависимостей $x(t)$ и $v(t)$, соответствующие данному движению, приведены на рисунках 5 и 6.
Материальная точка движется вдоль прямой. Постройте графики зависимостей скорости и координаты точки от времени, если график зависимости её скорости у от координаты х представляет собой: а) прямоугольник; б) окружность (при определённом выборе масштабов осей).
Решение:
рис.1
а) Пусть в начальный момент времени координата материальной точки равна 0, а её скорость $v = v_{0}$ (точка $A$ на зависимости $v(x)$, рис. 1). Тогда через маленький промежуток времени $\Delta t$ координата $x$ материальной точки станет равной $v_{0} \Delta t > 0$. Это соответствует тому, что точка на нашем графике $v(x)$ будет смещаться вправо. Так будет продолжаться до момента времени $\Delta t_{1} = x_{0}/v_{0}$, после которого знак скорости изменится: вместо $v = v_{0}$ станет $v = -v_{0}$. Таким образом, в течение времени $\Delta t_{1}$ материальная точка будет двигаться с постоянной
скоростью $v_{0}$.
рис.2
Затем в течение времени $\Delta t_{2} = 2x_{0}/v_{0}$ материальная точка будет двигаться с постоянной скоростью $-v_{0}$, после чего знак скорости вновь изменится — она станет равной $v_{0}$. Далее материальная точка будет двигаться с этой скоростью в течение времени $\Delta t_{3} = x_{0}/v_{0}$, после чего вернётся в исходное положение, и цикл движения повторится. График зависимости скорости от времени $v(t)$, соответствующий описанному движению, приведён на
рис.3
По полученному графику $v(t)$ легко построить график зависимости координаты от времени $x(t)$. Действительно, «ступеньки» графика $v(t)$ соответствуют движениям с постоянными скоростями $v_{0}$ или $— v_{0}$. При движении с постоянной скоростью зависимость координаты от времени даётся формулой $x = x(0) + vt$. В начале движения $x(0) = 0$, и $x = v_{0}t$. Через время $\Delta t_{1}$ координата материальной точки станет равной $x_{0}$, а скорость примет значение $-v_{0}$, то есть зависимость $x(t)$ будет даваться формулой $x = 2x_{0} - v_{0}t$. Такая зависимость будет справедлива в течение промежутка времени $\Delta t_{2}$, после чего координата станет равна $—x_{0}$, а скорость примет значение $v_{0}$. В результате зависимость $x(t)$ приобретёт вид $x = -4x_{0} + v_{0}t$. График зависимости $x(t)$ приведён на рис. 3. Это периодическое движение с периодом
$T = \Delta t_{1} + \Delta t_{2} + \Delta t_{3} = \frac{4x_{0}}{v_{0}}$.
В заключение остановимся на вопросе о практической реализации такого движения. Понятно, что в реальности оно существовать не может, так как мгновенная смена знака скорости при $x = x_{0}$ и $x = — x_{0}$ означает, что в данные моменты времени материальная точка имеет бесконечно большое ускорение. Однако, можно представить себе движение, близкое к тому, о котором идёт речь в условии. Это может быть, например, движение маленького шарика, который в отсутствие сил тяжести и трения летает по прямой между двумя параллельными стенками, испытывая с ними абсолютно упругие соударения.
рис.4
б) Обозначим на графике $v(x)$ начало координат точкой $O$ (см. рис. 4), а радиус окружности через $R$. Тогда, очевидно, можно записать:
$R = k_{1}x_{0} =k_{2}v_{0}$,
где $k_{1}$ и $k_{2}$ — положительные размерные масштабные коэффициенты.
Пусть в некоторый момент времени скорость и координата материальной точки таковы, что они соответствуют на графике $v(x)$ точке $A$ с координатами $(k_{1}x_{A}, k_{2}v_{A})$ - Обозначим угол, который составляет радиус $OA$ с осью $Ov$, через $\alpha$. Так как в рассматриваемый момент времени скорость материальной точки положительна, то за малое время $\Delta t$ она сместится на положительное расстояние $\Delta x$, что соответствует на графике точке $A^{ \prime}$. Это означает, что радиус $OA$ повернётся по часовой стрелке, и угол, который он составляет с осью $Ov$, изменится на величину $\Delta \alpha$. При этом координаты точки $A$ изменятся на величины $k_{1} \Delta x$ и $k_{2} \Delta v$. Так как промежуток времени $\Delta t$ мал, то дугу окружности $AA^{ \prime} = R \Delta \alpha$ можно приближённо заменить на хорду $AA^{ \prime}$. Тогда из прямоугольного треугольника $ACA^{ \prime}$ получаем: $k_{1} \Delta x \approx R \Delta \alpha \cos \alpha$, откуда $\Delta x = x_{0} \Delta \alpha \cos \alpha = v_{A} \Delta t$. Но, с другой стороны, как видно из чертежа, $k_{2}v_{A} = R \cos \alpha = k_{2} v_{0} \cos \alpha$, откуда $v_{A} = v_{0} \cos \alpha$.
Подставляя $v_{A}$ в выражение для $\Delta x$, получаем $x_{0} \Delta \alpha \cos \alpha = v_{0} \cos \alpha \cdot \Delta t$, откуда $\frac{ \Delta \alpha}{ \Delta t} = \frac{v_{0}}{x_{0}} = \omega = const$, то есть радиус $AO$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = v_{0}/x_{0}$.
Следовательно, угол $\alpha$ возрастает со временем по линейному закону: $\alpha = \alpha_{0} + \omega t$, где постоянная величина $\alpha_{0}$ соответствует начальному положению точки $A$ на окружности. С учётом этого получаем $k_{1}x_{A} = R \sin \alpha = k_{1}x_{0} \sin \alpha$, откуда
$x_{A} = x_{0} \sin \alpha = x_{0} \sin ( \alpha_{0} + \omega t) = x_{0} \sin \left ( \alpha_{0} + \frac{v_{0}}{x_{0}} t \right )$
и аналогично
$v_{A} = v_{0} \sin \alpha = v_{0} \sin ( \alpha_{0} + \omega t) = v_{0} \sin \left ( \alpha_{0} + \frac{v_{0}}{x_{0}} t \right )$
рис.5
рис.6
Из полученных зависимостей следует, что материальная точка совершает гармоническое колебание с амплитудой $x_{0}$ и периодом $T = 2 \pi / \omega = 2 \pi x_{0}/v_{0}$.
Графики зависимостей $x(t)$ и $v(t)$, соответствующие данному движению, приведены на рисунках 5 и 6.
