Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8885
2018-07-21 
Кубик, взвешенный в жидкости, при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$ имеет соответственно вес $P_{1}$ и $P_{2}$. Коэффициент линейного расширения материала кубика $\alpha$. Чему равен коэффициент объемного расширения $\beta$ жидкости, если в воздухе вес кубика $P_{0}$?
Решение:
На кубик, погруженный в жидкость, действуют: сила тяжести $\vec{F}_{т} (F_{т} = P_{0})$, сила натяжения нити $\vec{T}_{н}$ (численно равная весу кубика) и выталкивающая сила $\vec{F}_{выт}$. Запишем условие равновесия кубика в скалярной форме относительно оси у:
$T_{н} + F_{выт} - F_{т} = 0$,
откуда
$T_{н} = F_{т} - F_{выт}$, (1)
Здесь $F_{выт} = \rho Vg$, где $\rho$ - плотность жидкости. При температуре $T_{1}$ плотность жидкости равна $\rho_{1} = \frac{ \rho_{0} }{1 + \beta \Delta T_{1} }$, при температуре $T_{2}$ плотность жидкости равна $\rho_{2} = \frac{ \rho_{0} }{1 + \beta \Delta T_{2} }$, где $\Delta T_{1} = T_{1} - T_{0}, \Delta T_{2} = T_{2} - T_{0}, T_{0} = 273 К$, $\rho_{0}$ - плотность жидкости при температуре $T_{0}, \beta$ - объемный коэффициент расширения жидкости.
Объем кубика при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$ равен:
$V_{1} = V_{0}(1 + \beta_{1} \Delta T_{1} ) = V_{0}(1 + 3 \alpha \Delta T_{1})$,
$V_{2} = V_{0}(1 + \beta_{1} \Delta T_{2} ) = V_{0}(1 + 3 \alpha \Delta T_{2})$,
где $V_{0}$ - объем кубика при температуре $T_{0}, \beta_{1}$ - объемный коэффициент расширения материала кубика. Тогда выражение (1) при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$ примет вид:
$P_{1} = P_{0} - \frac{ \rho_{0} gV_{0} (1 + 3 \alpha \Delta T_{1} ) }{1 + \beta \Delta T_{1} }$, (2)
$P_{2} = P_{0} - \frac{ \rho_{0} gV_{0} (1 + 3 \alpha \Delta T_{2} ) }{1 + \beta \Delta T_{2} }$, (3)
где $T_{н1} = P_{1}, T_{н2} = P_{2}$ и $F_{т} = P_{0}$.
Поделив почленно уравнения (2) и (3), получаем:
$\frac{P_{0} - P_{1} }{P_{0} - P_{2} } = \frac{(1 + \beta \Delta T_{2} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{1} )}{(1 + \beta \Delta T_{1} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{2} )}$,
откуда
$\beta = \frac{(P_{0} - P_{2} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{1} ) - (P_{0} - P_{1} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{2} }{(P_{0} - P_{1} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{2} ) \Delta T_{1} - (P_{0} - P_{2} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{1} ) \Delta T_{2} }$.
Кубик, взвешенный в жидкости, при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$ имеет соответственно вес $P_{1}$ и $P_{2}$. Коэффициент линейного расширения материала кубика $\alpha$. Чему равен коэффициент объемного расширения $\beta$ жидкости, если в воздухе вес кубика $P_{0}$?
Решение:
На кубик, погруженный в жидкость, действуют: сила тяжести $\vec{F}_{т} (F_{т} = P_{0})$, сила натяжения нити $\vec{T}_{н}$ (численно равная весу кубика) и выталкивающая сила $\vec{F}_{выт}$. Запишем условие равновесия кубика в скалярной форме относительно оси у:
$T_{н} + F_{выт} - F_{т} = 0$,
откуда
$T_{н} = F_{т} - F_{выт}$, (1)
Здесь $F_{выт} = \rho Vg$, где $\rho$ - плотность жидкости. При температуре $T_{1}$ плотность жидкости равна $\rho_{1} = \frac{ \rho_{0} }{1 + \beta \Delta T_{1} }$, при температуре $T_{2}$ плотность жидкости равна $\rho_{2} = \frac{ \rho_{0} }{1 + \beta \Delta T_{2} }$, где $\Delta T_{1} = T_{1} - T_{0}, \Delta T_{2} = T_{2} - T_{0}, T_{0} = 273 К$, $\rho_{0}$ - плотность жидкости при температуре $T_{0}, \beta$ - объемный коэффициент расширения жидкости.
Объем кубика при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$ равен:
$V_{1} = V_{0}(1 + \beta_{1} \Delta T_{1} ) = V_{0}(1 + 3 \alpha \Delta T_{1})$,
$V_{2} = V_{0}(1 + \beta_{1} \Delta T_{2} ) = V_{0}(1 + 3 \alpha \Delta T_{2})$,
где $V_{0}$ - объем кубика при температуре $T_{0}, \beta_{1}$ - объемный коэффициент расширения материала кубика. Тогда выражение (1) при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$ примет вид:
$P_{1} = P_{0} - \frac{ \rho_{0} gV_{0} (1 + 3 \alpha \Delta T_{1} ) }{1 + \beta \Delta T_{1} }$, (2)
$P_{2} = P_{0} - \frac{ \rho_{0} gV_{0} (1 + 3 \alpha \Delta T_{2} ) }{1 + \beta \Delta T_{2} }$, (3)
где $T_{н1} = P_{1}, T_{н2} = P_{2}$ и $F_{т} = P_{0}$.
Поделив почленно уравнения (2) и (3), получаем:
$\frac{P_{0} - P_{1} }{P_{0} - P_{2} } = \frac{(1 + \beta \Delta T_{2} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{1} )}{(1 + \beta \Delta T_{1} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{2} )}$,
откуда
$\beta = \frac{(P_{0} - P_{2} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{1} ) - (P_{0} - P_{1} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{2} }{(P_{0} - P_{1} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{2} ) \Delta T_{1} - (P_{0} - P_{2} )(1 + 3 \alpha \Delta T_{1} ) \Delta T_{2} }$.
