ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-21   
Определите работу, совершаемую 1 молем газа в замкнутом цикле, показанном на рис. Температуры в точках 1 и 3 равны соответственно $T_{1}$ и $T_{2}$. Точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.



Решение:


Работа, совершаемая газом в замкнутом цикле, равна сумме работ, совершаемых газом в каждом из процессов:

$A = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41}$, (1)

где $A_{12} = 0$ - работа в изохорическом процессе $1 \rightarrow 2$, так как $A = p \Delta V, \Delta V = 0$. Работа в изохорическом процессе $3 \rightarrow 4$ также равна нулю: $A_{34} = 0$. Процессы $2 \rightarrow 3$ и $4 \rightarrow 1$ являются изобарными, $A_{23} = \frac{m}{M}R(T_{2} - T_{0})$ и $A_{31} = \frac{m}{M}R(T_{1} - T_{0})$. Подставив полученные выражения для $A_{23}$ и $A_{41}$ в (1), получим

$A = \frac{m}{M}R(T_{2} + T_{1} - 2T_{0} )$, (2)

где $T_{0}$ — температура газа в точках 2 и 4.
Запишем для процессов $2 \rightarrow 3$ и $4 \rightarrow 1$ закон Гей-Люссака:

$\frac{V_{2} }{T_{0} } = \frac{V_{3} }{T_{2} }$ и $\frac{V_{1} }{T_{1} } = \frac{V_{4} }{T_{0} }$

откуда

$T_{0} = \frac{V_{2} }{V_{3} }T_{2}$ и $T_{0} = \frac{V_{4} }{V_{1} }T_{1}$. (3)

Так как $V_{1} = V_{2}$ и $V_{3} = V_{4}$, то уравнения (3) имеют вид:

$T_{0} = \frac{V_{1} }{V_{3} }T_{2}$ и $T_{0} = \frac{V_{3} }{V_{1} }T_{1}$,

и получаем

$T_{0}^{2} = T_{1}T_{2}, T_{0} = \sqrt{T_{1}T_{2} }$.

Подставим выражение для $T_{0}$ в (2):

$A = \frac{m}{M}RT_{1} \left (1 - \sqrt{ \frac{T_{2} }{T_{1} }} \right )^{2}$.