Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 886
2016-09-17 
В межзвёздном пространстве навстречу друг другу двигаются два космических корабля: один со скоростью $v_{1} = 2 \cdot 10^{7} м/с$, а второй — со скоростью $v_{2} = 3 \cdot 10^{7} м/с$. В некоторый момент времени первый корабль посылает короткий радиосигнал, который отражается от второго и принимается первым кораблём через $t = 2,4 с$ после отправления. Радиосигналы распространяются со скоростью $c = 3 \cdot 10^{8} м/с$, которая не зависит от скорости источника, посылающего сигнал. Какое расстояние было между кораблями в момент: 1) посылки сигнала? 2) приёма сигнала первым кораблём?
Решение:
Будем решать задачу в системе отсчёта, в которой скорости кораблей равны $v_{1}$ и $v_{2}$ соответственно. Обозначим расстояние между кораблями в момент подачи радиосигнала $(t = 0)$ через $L$. Тогда встреча радиосигнала и второго корабля состоится в момент времени $t_{1} = \frac{L}{v_{2}+c}$. В этот момент расстояние между кораблями равно
$S = L - (v_{1} + v_{2})t_{1} = L \left ( 1 - \frac{v_{1}+v_{2}}{v_{2}+c} \right ) = L \frac{c-v_{1}}{v_{2}+c}$
После отражения от второго корабля радиосигнал движется навстречу первому кораблю. До их встречи пройдёт время $t_{2} = \frac{S}{v_{1}+c}$. Общее время равно:
$t = t_{1} + t_{2} = \frac{L}{v_{2}+c} + \frac{L \left ( \frac{c-v_{1}}{v_{2}+c} \right )}{v_{1}+c}$.
Отсюда $L = \frac{(v_{1}+c)(c-v_{2})}{2c} \cdot t = 4,224 \cdot 10^{8} м$. В момент приёма отражённого сигнала первым кораблём расстояние между кораблями
равно:
$L_{1} = L - (v_{1} + v_{2})t = \frac{(c-v_{1})(c-v_{2})}{2c} \cdot t = 3,024 \cdot 10^{8} м$.
Замечание. Относительная скорость кораблей равна $5 \cdot 10^{7} м/с$. Эта скорость в 6 раз меньше скорости света, поэтому релятивистские поправки будут не слишком велики. Они определяются множителем типа $\sqrt{ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{1}{36}} \approx 0,986$. Поэтому можно было бы решать нашу задачу в системе отсчёта, связанной, например, с первым кораблём, и использовать нерелятивистскую формулу сложения скоростей. Результат, полученный таким образом, будет отличаться от точного результата, приведённого выше, не более чем на 1,4%.
В межзвёздном пространстве навстречу друг другу двигаются два космических корабля: один со скоростью $v_{1} = 2 \cdot 10^{7} м/с$, а второй — со скоростью $v_{2} = 3 \cdot 10^{7} м/с$. В некоторый момент времени первый корабль посылает короткий радиосигнал, который отражается от второго и принимается первым кораблём через $t = 2,4 с$ после отправления. Радиосигналы распространяются со скоростью $c = 3 \cdot 10^{8} м/с$, которая не зависит от скорости источника, посылающего сигнал. Какое расстояние было между кораблями в момент: 1) посылки сигнала? 2) приёма сигнала первым кораблём?
Решение:
Будем решать задачу в системе отсчёта, в которой скорости кораблей равны $v_{1}$ и $v_{2}$ соответственно. Обозначим расстояние между кораблями в момент подачи радиосигнала $(t = 0)$ через $L$. Тогда встреча радиосигнала и второго корабля состоится в момент времени $t_{1} = \frac{L}{v_{2}+c}$. В этот момент расстояние между кораблями равно
$S = L - (v_{1} + v_{2})t_{1} = L \left ( 1 - \frac{v_{1}+v_{2}}{v_{2}+c} \right ) = L \frac{c-v_{1}}{v_{2}+c}$
После отражения от второго корабля радиосигнал движется навстречу первому кораблю. До их встречи пройдёт время $t_{2} = \frac{S}{v_{1}+c}$. Общее время равно:
$t = t_{1} + t_{2} = \frac{L}{v_{2}+c} + \frac{L \left ( \frac{c-v_{1}}{v_{2}+c} \right )}{v_{1}+c}$.
Отсюда $L = \frac{(v_{1}+c)(c-v_{2})}{2c} \cdot t = 4,224 \cdot 10^{8} м$. В момент приёма отражённого сигнала первым кораблём расстояние между кораблями
равно:
$L_{1} = L - (v_{1} + v_{2})t = \frac{(c-v_{1})(c-v_{2})}{2c} \cdot t = 3,024 \cdot 10^{8} м$.
Замечание. Относительная скорость кораблей равна $5 \cdot 10^{7} м/с$. Эта скорость в 6 раз меньше скорости света, поэтому релятивистские поправки будут не слишком велики. Они определяются множителем типа $\sqrt{ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{1}{36}} \approx 0,986$. Поэтому можно было бы решать нашу задачу в системе отсчёта, связанной, например, с первым кораблём, и использовать нерелятивистскую формулу сложения скоростей. Результат, полученный таким образом, будет отличаться от точного результата, приведённого выше, не более чем на 1,4%.
