Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8854
2018-07-21 
В расположенном вертикально цилиндре переменного сечения между закрепленными поршнями находится $n$ молей воздуха. Массы поршней $m_{1}$ и $m_{2}$, площади сечений $S_{1}$ и $S_{2}$. Поршни соединены стержнем длиной $l$ и закреплены на одинаковом расстоянии от стыка (рис.). Насколько переместятся поршни, если убрать крепления?
Решение:
После перемещения поршни будут находиться в равновесии. На поршни (это жестко связанная система тел, и мы можем рассматривать их как одно тело) действуют силы (рис.): силы тяжести $\vec{F}_{т1} = m_{1} \vec{g}$ и $\vec{F}_{т2} = m_{2} \vec{g}$, силы давления воздуха, находящегося в цилиндре, $\vec{F}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{F}_{2}^{ \prime}$, $\vec{F}_{1} = p S_{1}, F_{2}^{ \prime} = pS_{2}$, где $p$ - давление воздуха между поршнями, и силы давления на поршни извне $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, $F_{1} = p_{атм} S_{1}, F_{2} = p_{атм} S_{2}$. Запишем условие равновесия системы двух поршней в скалярной форме относительно оси у:
$F_{2} + F_{1}^{ \prime} - F_{1} - F_{т1} - F_{т2} - F_{2}^{ \prime} = 0$,
или
$p_{атм} S_{1} + m_{1}g + m_{2}g + pS_{2} - p_{атм}S_{2} - pS_{1} = 0$,
откуда
$p = \frac{p_{атм}(S_{1} - S_{2} ) + ( m_{1} + m_{2} )g }{S_{1} - S_{2} }$ (1)
При перемещении поршней температура и масса воздуха между поршнями оставались постоянными. Тогда, по закону Бойля-Мариотта
$p_{атм}V_{1} = pV$, (2)
где $V_{1} = S_{1} \frac{l}{2} + S_{2} \frac{l}{2} = (S_{1} + S_{2}) \frac{l}{2}$ - первоначальный объем воздуха, $V = \left ( \frac{l}{2} - x \right ) S_{2} + \left ( \frac{l}{2} - x \right )S_{1}$ - объем воздуха после перемещения поршней, при котором они опустились на расстояние $x$. Уравнение (2) перепишем с учетом выражения (1):
$p_{атм} (S_{1} + S_{2} ) \frac{l}{2} = \frac{p_{атм} (S_{1} - S_{2} ) + (m_{1} + m_{2} )g }{S_{1} - S_{2} } \left ( \left ( \frac{l}{2} - x \right ) S_{1} + \left ( \frac{l}{2} + x \right ) S_{2} \right )$,
откуда наводим $x$:
$x = \frac{(m_{1} + m_{2} )g(S_{1} + S_{2} )l }{2(S_{1} - S_{2})(p_{атм}(S_{1} - S_{2} ) + (m_{1} + m_{2} )g) }$.
В расположенном вертикально цилиндре переменного сечения между закрепленными поршнями находится $n$ молей воздуха. Массы поршней $m_{1}$ и $m_{2}$, площади сечений $S_{1}$ и $S_{2}$. Поршни соединены стержнем длиной $l$ и закреплены на одинаковом расстоянии от стыка (рис.). Насколько переместятся поршни, если убрать крепления?
Решение:
После перемещения поршни будут находиться в равновесии. На поршни (это жестко связанная система тел, и мы можем рассматривать их как одно тело) действуют силы (рис.): силы тяжести $\vec{F}_{т1} = m_{1} \vec{g}$ и $\vec{F}_{т2} = m_{2} \vec{g}$, силы давления воздуха, находящегося в цилиндре, $\vec{F}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{F}_{2}^{ \prime}$, $\vec{F}_{1} = p S_{1}, F_{2}^{ \prime} = pS_{2}$, где $p$ - давление воздуха между поршнями, и силы давления на поршни извне $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, $F_{1} = p_{атм} S_{1}, F_{2} = p_{атм} S_{2}$. Запишем условие равновесия системы двух поршней в скалярной форме относительно оси у:
$F_{2} + F_{1}^{ \prime} - F_{1} - F_{т1} - F_{т2} - F_{2}^{ \prime} = 0$,
или
$p_{атм} S_{1} + m_{1}g + m_{2}g + pS_{2} - p_{атм}S_{2} - pS_{1} = 0$,
откуда
$p = \frac{p_{атм}(S_{1} - S_{2} ) + ( m_{1} + m_{2} )g }{S_{1} - S_{2} }$ (1)
При перемещении поршней температура и масса воздуха между поршнями оставались постоянными. Тогда, по закону Бойля-Мариотта
$p_{атм}V_{1} = pV$, (2)
где $V_{1} = S_{1} \frac{l}{2} + S_{2} \frac{l}{2} = (S_{1} + S_{2}) \frac{l}{2}$ - первоначальный объем воздуха, $V = \left ( \frac{l}{2} - x \right ) S_{2} + \left ( \frac{l}{2} - x \right )S_{1}$ - объем воздуха после перемещения поршней, при котором они опустились на расстояние $x$. Уравнение (2) перепишем с учетом выражения (1):
$p_{атм} (S_{1} + S_{2} ) \frac{l}{2} = \frac{p_{атм} (S_{1} - S_{2} ) + (m_{1} + m_{2} )g }{S_{1} - S_{2} } \left ( \left ( \frac{l}{2} - x \right ) S_{1} + \left ( \frac{l}{2} + x \right ) S_{2} \right )$,
откуда наводим $x$:
$x = \frac{(m_{1} + m_{2} )g(S_{1} + S_{2} )l }{2(S_{1} - S_{2})(p_{атм}(S_{1} - S_{2} ) + (m_{1} + m_{2} )g) }$.
