Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 885
2016-09-17 
На прямой дороге находятся велосипедист, мотоциклист и пешеход между ними. В начальный момент времени расстояние от пешехода до велосипедиста в 2 раза меньше, чем до мотоциклиста. Велосипедист и мотоциклист начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 20 км/ч и 60 км/ч соответственно. В какую сторону и с какой скоростью должен идти пешеход, чтобы встретиться с велосипедистом и мотоциклистом в месте их встречи?
Решение:
Обозначим расстояние между велосипедистом и мотоциклистом $S$, а скорость пешехода $v$. Дальше задачу можно решать двумя способами — с помощью составления системы уравнений и графически. Рассмотрим оба способа.
1. Составим систему уравнений. Пусть велосипедист, мотоциклист и пешеход встретятся через время $t$. Предположим, что пешеход идёт по направлению к велосипедисту. До момента встречи мотоциклист проедет путь $60t$, а велосипедист — путь $20t$. Так как вначале расстояние между ними было равно $S$, то получаем уравнение:
$60t + 20t = S$.
Второе уравнение можно получить, рассмотрев встречу пешехода с велосипедистом или с мотоциклистом. В начальный момент времени расстояние между мотоциклистом и пешеходом было равно $2S/3$, а между велосипедистом и пешеходом $S/З$. Так как встреча произошла через время $t$, то справедливы соотношения:
$\frac{2S}{3} + vt = 60t, \frac{S}{3} - vt = 20t$.
Легко видеть, что полученная система трёх уравнений не позволяет найти время $t$ и начальное расстояние $S$. Однако, скорость пешехода $v$ из неё найти можно, причём для нахождения $v$ достаточно решить только два любых уравнения из числа имеющихся. Это связано с тем, что велосипедист, мотоциклист и пешеход встречаются в одной точке. Выражая из любого уравнения величину $S$ и подставляя её в два оставшихся уравнения, находим скорость пешехода:
$v = \frac{20}{3} \approx 6,7 км/ч$.
Скорость получилась положительной. Это означает, что мы вначале правильно решили, что пешеход идёт по направлению к велосипедисту. Если бы мы ошиблись, и предположили, что пешеход идёт в обратную сторону, то два последних уравнения изменились бы, и в результате мы бы получили величину скорости $v \approx — 6,7 м/с$. Знак «минус» показывал бы, что на самом деле пешеход идёт в обратную сторону.
2. Графический способ решения задачи более нагляден. Начертим графики зависимости положения мотоциклиста, велосипедиста и пешехода от времени в одной системе координат $(X-t)$ и обозначим их начальные положения буквами $M, V$ и $P$ соответственно (см. рис.). За начало координат выберем положение мотоциклиста, а за момент начала отсчёта времени — начало движения. Так как движение происходит с постоянной скоростью, то графики будут представлять собой прямые линии, пересекающиеся в некоторой точке $A$ (точка встречи). Перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на ось $X$, пересечёт её в точке $B$ (эта точка соответствует расстоянию от начального положения мотоциклиста до места встречи. Из условия задачи вытекает следующая пропорция:
$ \frac{MP}{PV} = \frac{2}{1}$.
Кроме того, длины отрезков $MB$ и $BV$ относятся так же, как скорости мотоциклиста и велосипедиста:
$\frac{MB}{BV} = \frac{60 км/ч}{20 км/ч} = \frac{3}{1}$
Из этих пропорций вытекают следующие соотношения:
$\frac{MV}{BV} = \frac{MB + BV}{BV} = \frac{4}{1}$,
$\frac{MV}{PV} = \frac{MP + PV}{PV} = \frac{3}{1}$.
Деля два последних отношения друг на друга, получаем:
$\frac{PV}{BV} = \frac{4}{3}$.
Наконец, используя выражение, находим:
$\frac{PB}{BV} = \frac{PV - BV}{BV} = \frac{1}{3}$.
Но отношение длин отрезков $PB$ и $BV$ равно отношению скоростей пешехода и велосипедиста. Значит, скорость пешехода должна быть равна $v = \frac{20 км/ч}{3} = 6,7 км/ч$.
Кроме того, из чертежа видно, что пешеход должен двигаться в сторону велосипедиста.
На прямой дороге находятся велосипедист, мотоциклист и пешеход между ними. В начальный момент времени расстояние от пешехода до велосипедиста в 2 раза меньше, чем до мотоциклиста. Велосипедист и мотоциклист начинают двигаться навстречу друг другу со скоростями 20 км/ч и 60 км/ч соответственно. В какую сторону и с какой скоростью должен идти пешеход, чтобы встретиться с велосипедистом и мотоциклистом в месте их встречи?
Решение:
Обозначим расстояние между велосипедистом и мотоциклистом $S$, а скорость пешехода $v$. Дальше задачу можно решать двумя способами — с помощью составления системы уравнений и графически. Рассмотрим оба способа.
1. Составим систему уравнений. Пусть велосипедист, мотоциклист и пешеход встретятся через время $t$. Предположим, что пешеход идёт по направлению к велосипедисту. До момента встречи мотоциклист проедет путь $60t$, а велосипедист — путь $20t$. Так как вначале расстояние между ними было равно $S$, то получаем уравнение:
$60t + 20t = S$.
Второе уравнение можно получить, рассмотрев встречу пешехода с велосипедистом или с мотоциклистом. В начальный момент времени расстояние между мотоциклистом и пешеходом было равно $2S/3$, а между велосипедистом и пешеходом $S/З$. Так как встреча произошла через время $t$, то справедливы соотношения:
$\frac{2S}{3} + vt = 60t, \frac{S}{3} - vt = 20t$.
Легко видеть, что полученная система трёх уравнений не позволяет найти время $t$ и начальное расстояние $S$. Однако, скорость пешехода $v$ из неё найти можно, причём для нахождения $v$ достаточно решить только два любых уравнения из числа имеющихся. Это связано с тем, что велосипедист, мотоциклист и пешеход встречаются в одной точке. Выражая из любого уравнения величину $S$ и подставляя её в два оставшихся уравнения, находим скорость пешехода:
$v = \frac{20}{3} \approx 6,7 км/ч$.
Скорость получилась положительной. Это означает, что мы вначале правильно решили, что пешеход идёт по направлению к велосипедисту. Если бы мы ошиблись, и предположили, что пешеход идёт в обратную сторону, то два последних уравнения изменились бы, и в результате мы бы получили величину скорости $v \approx — 6,7 м/с$. Знак «минус» показывал бы, что на самом деле пешеход идёт в обратную сторону.
2. Графический способ решения задачи более нагляден. Начертим графики зависимости положения мотоциклиста, велосипедиста и пешехода от времени в одной системе координат $(X-t)$ и обозначим их начальные положения буквами $M, V$ и $P$ соответственно (см. рис.). За начало координат выберем положение мотоциклиста, а за момент начала отсчёта времени — начало движения. Так как движение происходит с постоянной скоростью, то графики будут представлять собой прямые линии, пересекающиеся в некоторой точке $A$ (точка встречи). Перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на ось $X$, пересечёт её в точке $B$ (эта точка соответствует расстоянию от начального положения мотоциклиста до места встречи. Из условия задачи вытекает следующая пропорция:
$ \frac{MP}{PV} = \frac{2}{1}$.
Кроме того, длины отрезков $MB$ и $BV$ относятся так же, как скорости мотоциклиста и велосипедиста:
$\frac{MB}{BV} = \frac{60 км/ч}{20 км/ч} = \frac{3}{1}$
Из этих пропорций вытекают следующие соотношения:
$\frac{MV}{BV} = \frac{MB + BV}{BV} = \frac{4}{1}$,
$\frac{MV}{PV} = \frac{MP + PV}{PV} = \frac{3}{1}$.
Деля два последних отношения друг на друга, получаем:
$\frac{PV}{BV} = \frac{4}{3}$.
Наконец, используя выражение, находим:
$\frac{PB}{BV} = \frac{PV - BV}{BV} = \frac{1}{3}$.
Но отношение длин отрезков $PB$ и $BV$ равно отношению скоростей пешехода и велосипедиста. Значит, скорость пешехода должна быть равна $v = \frac{20 км/ч}{3} = 6,7 км/ч$.
Кроме того, из чертежа видно, что пешеход должен двигаться в сторону велосипедиста.
