ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-21   
В U-образную запаянную с одного конца трубку налита жидкость плотностью $\rho$. Уровни жидкости в запаянном и открытом коленах различны, причем открытый конец полностью заполнен жидкостью. Длина колена $L$. Атмосферное давление равно $p_{атм}$. Кран открывают, и уровни жидкости выравниваются посередине трубок (рис.). Какова была разность уровней вначале?



Решение:



Первоначально давление газа $p_{1}$ в западном колене было равно $p_{1} = p_{атм} + \rho gh$ (рис.) и он занимал объем $V_{1} = hS$, где $S$ - площадь поперечного сечения трубки. После того, как кран открыли, давление газа в запаянном колене стало равно $p_{2} = p_{атм}$ и его объем $V_{2} = \frac{L}{2}S$. Процесс изотермический, запишем закон Бойля-Мариотта:

$p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2}$,

или

$(p_{атм} + \rho gh)hS = p_{атм} \frac{L}{2}S$,
$\rho gh^{2} + p_{атм}h - \frac{p_{атм} L }{2} = 0$,
$h_{1,2} = - \frac{p_{атм} }{2 \rho g} \pm \sqrt{ \left ( \frac{p_{атм} }{2 \rho g} \right )^{2} + \frac{p_{атм}L }{2 \rho g} }$.

Так как $h > 0$, то второй корень не имеет смысла:

$h = \frac{1}{2 \rho g} ( - p_{атм} + \sqrt{p_{атм}^{2} + p_{атм}L \cdot 2 \rho g})$.