Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8843
2018-07-21 
Трубку длиной $l$ наполовину погружают в ртуть, затем закрывают сверху и вынимают. Какой длины столбик ртути $h$ останется в трубке? Длина столбика ртути $H$ соответствует атмосферному давлению.
Решение:
В начальный момент воздух в трубке находится при атмосферном давлении $P_{0}$ $p_{1} = p_{0} = \rho_{рт}gH$ и занимает объем $V_{1} = S \frac{l}{2}$, где $S$ - площадь поперечного сечения трубки (рис.). Так как температура и масса воздуха при расширении не изменяются, т. е. процесс расширения происходит изотермически, запишем закон Бойля - Мариотта:
$p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2}$, (1)
где $p_{2}$ - давление воздуха, a $V_{2} = S(l - h)$ - объем воздуха после расширения. Столбик ртути будет находиться в равновесии, когда сумма сил, действующих на пего, равна нулю:
$\rho_{рт}ghS = p_{0}S - p_{2}S$,
или
$\rho_{рт} gh = p_{0} - p_{2}$,
т. е. атмосферное давление уравновешивается давлением воздуха $p_{2}$ и давлением столбика ртути высотой $h$ оставшегося в трубке,
$p_{2} = p_{0} - \rho_{рт}gh = \rho_{рт}gH - \rho_{рт}gh = \rho_{рт}g(H - h)$.
Подставим полученные выражения для $p_{1}, p_{2}, V_{1} $ и $V_{2}$ в (1):
$\rho_{}gH \cdot S \cdot \frac{l}{2} = \rho_{рт} g(H - h) \cdot S(l - h)$,
откуда
$h^{2} - (H + l)h + \frac{Hl}{2} = 0, h_{1,2} = \frac{H + l}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{H^{2} + l^{2} }$.
Очевидно, что $0 < h < l,$ а $h_{1} = \frac{H + l}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{H^{2} + l^{2} } > l$, т. е. не может быть решением задачи. Остается
$h = \frac{H + l}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{H^{2} + l^{2} }$
Трубку длиной $l$ наполовину погружают в ртуть, затем закрывают сверху и вынимают. Какой длины столбик ртути $h$ останется в трубке? Длина столбика ртути $H$ соответствует атмосферному давлению.
Решение:
В начальный момент воздух в трубке находится при атмосферном давлении $P_{0}$ $p_{1} = p_{0} = \rho_{рт}gH$ и занимает объем $V_{1} = S \frac{l}{2}$, где $S$ - площадь поперечного сечения трубки (рис.). Так как температура и масса воздуха при расширении не изменяются, т. е. процесс расширения происходит изотермически, запишем закон Бойля - Мариотта:
$p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2}$, (1)
где $p_{2}$ - давление воздуха, a $V_{2} = S(l - h)$ - объем воздуха после расширения. Столбик ртути будет находиться в равновесии, когда сумма сил, действующих на пего, равна нулю:
$\rho_{рт}ghS = p_{0}S - p_{2}S$,
или
$\rho_{рт} gh = p_{0} - p_{2}$,
т. е. атмосферное давление уравновешивается давлением воздуха $p_{2}$ и давлением столбика ртути высотой $h$ оставшегося в трубке,
$p_{2} = p_{0} - \rho_{рт}gh = \rho_{рт}gH - \rho_{рт}gh = \rho_{рт}g(H - h)$.
Подставим полученные выражения для $p_{1}, p_{2}, V_{1} $ и $V_{2}$ в (1):
$\rho_{}gH \cdot S \cdot \frac{l}{2} = \rho_{рт} g(H - h) \cdot S(l - h)$,
откуда
$h^{2} - (H + l)h + \frac{Hl}{2} = 0, h_{1,2} = \frac{H + l}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{H^{2} + l^{2} }$.
Очевидно, что $0 < h < l,$ а $h_{1} = \frac{H + l}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{H^{2} + l^{2} } > l$, т. е. не может быть решением задачи. Остается
$h = \frac{H + l}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{H^{2} + l^{2} }$
