ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-15   
Плотность жидкости, перекачиваемой насосом, увеличили на 20%. На сколько процентов изменилась скорость жидкости в насосе, если мощность насоса осталась без изменения?


Решение:


Масса жидкости, вытекающей из насоса за время $\Delta t$, равна

$\Delta m = \rho v S \Delta t$,

где $S$ - площадь выходного отверстия, $v$ — скорость истечения жидкости плотностью $\rho$. При этом насос совершает работу, равную изменению кинетической энергии массы $\Delta m$ жидкости:

$A = \frac{ \Delta m v^{2} }{2}$.

Мощность насоса $N$ равна:

$N = \frac{A}{ \Delta t} = \frac{ \Delta mv^{2} }{2 \Delta t} = \frac{ \rho vS \Delta t v^{2} }{2 \Delta t} = \frac{ \rho v^{3} }{2}S$.

Следовательно,

$N = \frac{ \rho_{1}v_{1}^{3} }{2}S = \frac{ \rho_{2}v_{2}^{3} }{2} S$,

откуда

$\frac{v_{2} }{v_{1} } = \sqrt[3]{ \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } }$,

здесь $v_{1}$ - скорость истечения жидкости с плотностью $\rho_{1}$ из насоса, $v_{2}$ — скорость истечения жидкости с плотностью $\rho_{2}$.

$\frac{ \Delta v}{v_{1} } = \frac{v_{1} - v_{2} }{v_{1} } = 1 - \sqrt[3]{ \frac{ \rho_{1} }{ \rho_{2} } }, \frac{ \Delta v}{v_{1} } = 0,06$.
Ответ: скорость жидкости в насосе уменьшилась на 6%.