Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8832
2018-07-15 
Два человека несут бревно, диаметр которого изменяется от $d_{1}$ до $d_{2}$. Длина бревна $l$. На каком расстоянии от тонкого конца должен взяться за бревно второй человек, чтобы оба несущих испытывали одинаковую нагрузку, если первый держится за толстый край?
Решение:
Найдем центр тяжести бревна (рис.). Бревно представляет собой усеченный конус. Дополним его до конуса. Масса бревна равна $M$, масса большого (высотой $H$) и малого (высотой $h$) конусов равны соответственно $(m + M) = \rho \frac{1}{3} \frac{ \pi d_{2}^{2} }{4} H$ и $m = \rho \frac{1}{3} \frac{ \pi d_{1}^{2} }{4} h$, где $\rho$ - плотность материала бревна. Чтобы найти положение центра тяжести бревна (точка С), запишем уравнение моментов относительно точки центра тяжести большого конуса - точки О, находящейся на расстоянии $\frac{2}{3}H$ от вершины конуса D:
$m \left ( \frac{2}{3}H - \frac{2}{3}h \right ) - Mx = 0$,
откуда
$x = \frac{ \frac{2}{3} m(H - h) }{M}$. (1)
Из подобия соответствующих треугольников получаем:
$h = \frac{d_{1}l }{d_{1} - d_{2} }$
$H = \frac{d_{2}l }{d_{1} - d_{2} }$.
Подставив выражения для $m, M, h$ и $H$ в выражение (1), имеем:
$x = \frac{2}{3} \frac{l_{3}d_{1}^{3} }{ (d_{2}^{4} - d_{1}^{3} ) }$,
$AC = \frac{1}{3}H - x = \frac{l(d_{2}^{3} - 2d_{1}^{3} + d_{1}d_{2}^{2} + d_{2} d_{1}^{2} ) }{(d_{2}^{3} - d_{1}^{3} )}$.
Второй человек должен держать бревно на таком же расстоянии от центра тяжести бревна, что и первый человек, т. е. на расстоянии $2 \cdot AC$. Найдем, на каком расстоянии от конца тонкого конца должен взяться за бревно второй человек:
$L = l - 2AC = \frac{l((d_{2}^{3} + d_{1}^{3}) - 2d_{1}d_{2} (d_{1} + d_{2})) }{3(d_{2}^{3} - d_{1}^{3} )} = \frac{l(d_{1} + d_{2})(d_{2}^{2} - 3d_{1}d_{2} + d_{2}^{2} ) }{3(d_{2}^{3} - d_{1}^{3} )}$.
Два человека несут бревно, диаметр которого изменяется от $d_{1}$ до $d_{2}$. Длина бревна $l$. На каком расстоянии от тонкого конца должен взяться за бревно второй человек, чтобы оба несущих испытывали одинаковую нагрузку, если первый держится за толстый край?
Решение:
Найдем центр тяжести бревна (рис.). Бревно представляет собой усеченный конус. Дополним его до конуса. Масса бревна равна $M$, масса большого (высотой $H$) и малого (высотой $h$) конусов равны соответственно $(m + M) = \rho \frac{1}{3} \frac{ \pi d_{2}^{2} }{4} H$ и $m = \rho \frac{1}{3} \frac{ \pi d_{1}^{2} }{4} h$, где $\rho$ - плотность материала бревна. Чтобы найти положение центра тяжести бревна (точка С), запишем уравнение моментов относительно точки центра тяжести большого конуса - точки О, находящейся на расстоянии $\frac{2}{3}H$ от вершины конуса D:
$m \left ( \frac{2}{3}H - \frac{2}{3}h \right ) - Mx = 0$,
откуда
$x = \frac{ \frac{2}{3} m(H - h) }{M}$. (1)
Из подобия соответствующих треугольников получаем:
$h = \frac{d_{1}l }{d_{1} - d_{2} }$
$H = \frac{d_{2}l }{d_{1} - d_{2} }$.
Подставив выражения для $m, M, h$ и $H$ в выражение (1), имеем:
$x = \frac{2}{3} \frac{l_{3}d_{1}^{3} }{ (d_{2}^{4} - d_{1}^{3} ) }$,
$AC = \frac{1}{3}H - x = \frac{l(d_{2}^{3} - 2d_{1}^{3} + d_{1}d_{2}^{2} + d_{2} d_{1}^{2} ) }{(d_{2}^{3} - d_{1}^{3} )}$.
Второй человек должен держать бревно на таком же расстоянии от центра тяжести бревна, что и первый человек, т. е. на расстоянии $2 \cdot AC$. Найдем, на каком расстоянии от конца тонкого конца должен взяться за бревно второй человек:
$L = l - 2AC = \frac{l((d_{2}^{3} + d_{1}^{3}) - 2d_{1}d_{2} (d_{1} + d_{2})) }{3(d_{2}^{3} - d_{1}^{3} )} = \frac{l(d_{1} + d_{2})(d_{2}^{2} - 3d_{1}d_{2} + d_{2}^{2} ) }{3(d_{2}^{3} - d_{1}^{3} )}$.
