Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8831
2018-07-15 
Треугольная призма массой $m$ состоит из двух одинаковых половинок. Основание призмы представляет собой равносторонний треугольник. Стоя на одном ребре, призма находится в состоянии неустойчивого равновесия. Половинки призмы стянуты нитью АВ (рис.). Какова должна быть минимальная сила натяжения нити, чтобы призма не распалась?
Решение:
Рассмотрим два случал. Первый — призма представляет собой сплошное тело, и второй, когда призма представляет собой полое тело.
1. Условием равновесия одной из половинок призмы будет равенство нулю алгебраической суммы моментов сил (рис. а), действующих на половинку призмы:
$M_{1} - M_{2} = 0$, (1)
здесь $M_{1} = F_{т} l_{1} = \frac{mg}{2} l_{1}$ и $M_{2} = Tl_{2}$ - моменты сил тяжести половины призмы $\frac{m}{2}g$ и силы натяжения $T$ относительно оси, проходящей через точку С, где $l_{1} = \frac{a}{3}$ и $l_{2} = 2a \cos 30^{ \circ}$ - плечи этих сил. [Так как точка О — точка пересечения медиан треугольника СВК (рис. б), $CO = \frac{2}{3} CD$ и из подобия треугольников CDK и CON получаем $l_{1} = NO = \frac{2}{3} KD = \frac{a}{3}$.] Тогда
$\frac{mg}{2} \frac{a}{3} - T 2a \cos 30^{ \circ} = 0$,
откуда
$T = \frac{mg \sqrt{3} }{18}$.
2. Призма представляет собой полое тело. В этом случае уравнение (1) перепишем в виде
$\frac{mg}{2} l_{1}^{ \prime} - T l_{2} = 0$,
где $l_{1}^{ \prime} = \frac{3a}{2 ( \sqrt{3} + 3) }$ и $l_{2} = 2a \cos 30^{ \circ}$ - плечи сил $\frac{m}{2}g$ и $T$ (рис. в). Для нахождения $l_{1}^{ \prime}$ используем правило моментов относительно центра тяжести — точки М:
$F_{1} l_{1}^{ \prime} - (F_{2} + F_{3}) \left ( \frac{a}{2} - l_{1}^{ \prime} \right ) = 0$,
где $F_{1} = \rho a \sqrt{3} g, F_{2} = \rho 2a g$ и $F_{3} = \rho ag$ - силы тяжести сторон СК, СВ и КВ, $\rho$ — линейная плотность. Тогда
$T = \frac{mg}{4 ( \sqrt{3} + 1)}$.
Треугольная призма массой $m$ состоит из двух одинаковых половинок. Основание призмы представляет собой равносторонний треугольник. Стоя на одном ребре, призма находится в состоянии неустойчивого равновесия. Половинки призмы стянуты нитью АВ (рис.). Какова должна быть минимальная сила натяжения нити, чтобы призма не распалась?
Решение:
Рассмотрим два случал. Первый — призма представляет собой сплошное тело, и второй, когда призма представляет собой полое тело.
1. Условием равновесия одной из половинок призмы будет равенство нулю алгебраической суммы моментов сил (рис. а), действующих на половинку призмы:
$M_{1} - M_{2} = 0$, (1)
здесь $M_{1} = F_{т} l_{1} = \frac{mg}{2} l_{1}$ и $M_{2} = Tl_{2}$ - моменты сил тяжести половины призмы $\frac{m}{2}g$ и силы натяжения $T$ относительно оси, проходящей через точку С, где $l_{1} = \frac{a}{3}$ и $l_{2} = 2a \cos 30^{ \circ}$ - плечи этих сил. [Так как точка О — точка пересечения медиан треугольника СВК (рис. б), $CO = \frac{2}{3} CD$ и из подобия треугольников CDK и CON получаем $l_{1} = NO = \frac{2}{3} KD = \frac{a}{3}$.] Тогда
$\frac{mg}{2} \frac{a}{3} - T 2a \cos 30^{ \circ} = 0$,
откуда
$T = \frac{mg \sqrt{3} }{18}$.
2. Призма представляет собой полое тело. В этом случае уравнение (1) перепишем в виде
$\frac{mg}{2} l_{1}^{ \prime} - T l_{2} = 0$,
где $l_{1}^{ \prime} = \frac{3a}{2 ( \sqrt{3} + 3) }$ и $l_{2} = 2a \cos 30^{ \circ}$ - плечи сил $\frac{m}{2}g$ и $T$ (рис. в). Для нахождения $l_{1}^{ \prime}$ используем правило моментов относительно центра тяжести — точки М:
$F_{1} l_{1}^{ \prime} - (F_{2} + F_{3}) \left ( \frac{a}{2} - l_{1}^{ \prime} \right ) = 0$,
где $F_{1} = \rho a \sqrt{3} g, F_{2} = \rho 2a g$ и $F_{3} = \rho ag$ - силы тяжести сторон СК, СВ и КВ, $\rho$ — линейная плотность. Тогда
$T = \frac{mg}{4 ( \sqrt{3} + 1)}$.
