Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8829
2018-07-15 
Определите положение центра тяжести замкнутой фигуры из однородной проволоки, сделанной в виде полукольца радиусом $R$ (рис.).
Решение:
Определим положение центра тяжести тонкой однородной проволоки, изогнутой по дуге радиусом $R$ (рис. а). Впишем в полуокружность правильный многоугольник. Определим сумму моментов сил тяжести сторон многоугольника относительно оси AI. Силы тяжести приложены к серединам сторон многоугольника и направлены перпендикулярно чертежу. Суммарный момент сил тяжести равен
$M = \rho g ( AB \cdot x_{1} + BC \cdot x_{2} + CD \cdot x_{3} + DE \cdot x_{4} + EF \cdot x_{5} + FI \cdot x_{6} )$,
где $\rho$ — линейная плотность проволоки.
Из подобия соответствующих треугольников (например. $\Delta ABB^{ \prime}$ и $\Delta OMA$) можно покачать, что произведения $AB \cdot x_{1} = AB^{ \prime} \cdot h, BC \cdot x_{2} = B^{ \prime}C^{ \prime} \cdot h, CD \cdot x_{3} = CD^{ \prime} \cdot h$ и т.д., где $h$ апофема многоугольника. Тогда момент равен
$M = \rho gh(AB^{ \prime} + B^{ \prime}C^{ \prime} + C^{ \prime}D^{ \prime} + D^{ \prime}E^{ \prime} + E^{ \prime}F^{ \prime} + F^{ \prime}I) = \rho gh \cdot 2R$.
Если число сторон безгранично возрастает, то $h$ стремится к $R$, и момент равен $M = 2R^{2} \cdot \rho g$. С другой стороны, момент силы тяжести относительно оси AI равен
$M = mgx$.
где $m = \rho \pi R$ - масса проволоки, $x$ - расстояние от центра тяжести до оси AI. Тогда:
$\rho \pi R gx = 2R^{2} \rho g, x = \frac{2R}{ \pi}$.
Найдем массу $m_{1}$ проволоки, проходящей по диаметру AI:
$m_{1} = \rho 2R$.
Для определения положения центра тяжести системы воспользуемся правилом моментов относительно оси, проходящей через центр тяжести $M$ (рис. б):
$m_{1}gd - mg(x - d) = 0$,
где $d$ и $(x - d)$ - плечи сил тяжести $m_{1}g$ и $mg$. Тогда
$\rho 2R gd - \rho \pi Rg(x - d) = 0$,
откуда
$d = \frac{2R}{2 + \pi}$.
Ответ: центр тяжести лежит на расстоянии $\frac{2R}{2 + \pi}$ от центра окружности.
Определите положение центра тяжести замкнутой фигуры из однородной проволоки, сделанной в виде полукольца радиусом $R$ (рис.).
Решение:
Определим положение центра тяжести тонкой однородной проволоки, изогнутой по дуге радиусом $R$ (рис. а). Впишем в полуокружность правильный многоугольник. Определим сумму моментов сил тяжести сторон многоугольника относительно оси AI. Силы тяжести приложены к серединам сторон многоугольника и направлены перпендикулярно чертежу. Суммарный момент сил тяжести равен
$M = \rho g ( AB \cdot x_{1} + BC \cdot x_{2} + CD \cdot x_{3} + DE \cdot x_{4} + EF \cdot x_{5} + FI \cdot x_{6} )$,
где $\rho$ — линейная плотность проволоки.
Из подобия соответствующих треугольников (например. $\Delta ABB^{ \prime}$ и $\Delta OMA$) можно покачать, что произведения $AB \cdot x_{1} = AB^{ \prime} \cdot h, BC \cdot x_{2} = B^{ \prime}C^{ \prime} \cdot h, CD \cdot x_{3} = CD^{ \prime} \cdot h$ и т.д., где $h$ апофема многоугольника. Тогда момент равен
$M = \rho gh(AB^{ \prime} + B^{ \prime}C^{ \prime} + C^{ \prime}D^{ \prime} + D^{ \prime}E^{ \prime} + E^{ \prime}F^{ \prime} + F^{ \prime}I) = \rho gh \cdot 2R$.
Если число сторон безгранично возрастает, то $h$ стремится к $R$, и момент равен $M = 2R^{2} \cdot \rho g$. С другой стороны, момент силы тяжести относительно оси AI равен
$M = mgx$.
где $m = \rho \pi R$ - масса проволоки, $x$ - расстояние от центра тяжести до оси AI. Тогда:
$\rho \pi R gx = 2R^{2} \rho g, x = \frac{2R}{ \pi}$.
Найдем массу $m_{1}$ проволоки, проходящей по диаметру AI:
$m_{1} = \rho 2R$.
Для определения положения центра тяжести системы воспользуемся правилом моментов относительно оси, проходящей через центр тяжести $M$ (рис. б):
$m_{1}gd - mg(x - d) = 0$,
где $d$ и $(x - d)$ - плечи сил тяжести $m_{1}g$ и $mg$. Тогда
$\rho 2R gd - \rho \pi Rg(x - d) = 0$,
откуда
$d = \frac{2R}{2 + \pi}$.
Ответ: центр тяжести лежит на расстоянии $\frac{2R}{2 + \pi}$ от центра окружности.
