ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-15   
На гладкое горизонтальное бревно радиусом $R$ кладут палочку, согнутую пополам (рис.). Длина палочки $L = 8R$. Какой угол имеет изгиб палочки в положении равновесия?



Решение:



Рассмотрим силы действующие на палочку (рис.): к каждой половине палочки приложены сила тяжести $\vec{F}_{т} = m \vec{g}$ и сила нормальной реакции $\vec{N}$. Первое условие равновесия для палочки имеет вид:

$\vec{N}_{1} + \vec{N}_{2} + m_{1} \vec{g} + m_{2} \vec{g} = 0$. (1)

и так как $m_{1} = m_{2} = m$ и $N_{1} = N_{2} = N$ (в силу симметрии), то уравнение (1) в проекции на ось у запишем в виде:

$2N \sin \alpha - 2mg = 0$,

откуда

$N = \frac{mg}{ \sin \alpha}$.

Напишем второе условие равновесия относительно оси, проходящей через точку А:

$Nl_{1} - mg l_{2} = 0$, (2)

где $Nl_{1}$ и $mg l_{2}$ - моменты сил $\vec{N}$ и $m \vec{g}$, а $l_{1} = AB = \frac{R}{ tg \alpha}$ и $l_{2} = AC = 2R \sin \alpha$ - плечи сил $\vec{N}$ и $m \vec{g}$.
Учитывая это, перепишем уравнение (2):

$\frac{mg}{ \sin \alpha} \frac{R}{tg \alpha} - mg 2R \sin \alpha = 0$,

откуда

$\frac{ \cos \alpha}{ \sin^{2} \alpha } - 2 \sin \alpha = 0$,

или

$\frac{1}{ \sin^{2} \alpha } - 2 tg \alpha = 0$. (3)

Так как $\frac{1}{ \sin^{2} \alpha } = 1 + ctg^{2} \alpha$, то уравнение (3) можно переписать в виде:

$ctg^{3} \alpha + ctg \alpha - 2 = 0$,

или

$(ctg \alpha - 1)(ctg^{2} \alpha + ctg \alpha + 2) = 0$.

Решением этого уравнения является $ctg \alpha = 1, \alpha = 45^{ \circ}, 2 \alpha = 90^{ \circ}$.