ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-07-15   
На идеально гладкой стене висит картина высотой $L$, длина веревки $a$ (рис.). Веревка прикреплена на расстоянии $b < L/2$ от нижнего конца картины. Определите угол $\alpha$ между стеной и картиной.



Решение:



При равновесии сумма сил, действующих на картину (рис.), равна нулю:

$\vec{T} + \vec{F}_{т} + \vec{N} = 0$. (1)

где $\vec{F}_{т} = m \vec{g}$ - сила тяжести, $\vec{T}$ - сила натяжения веревки, $\vec{N}$ - сила нормальной реакции.
В проекции на ось у уравнение (1) имеет вид;

$T \sin \gamma - mg = 0$,

где

$\sin \gamma = \frac{BC}{KC} = \frac{ \sqrt{a^{2} - b^{2} \sin^{2} \alpha } }{a}$,

откуда

$T = \frac{mg a}{ \sqrt{a^{2} - b^{2} \sin^{2} \alpha } }$. (2)

Сумма моментов силы тяжести и силы натяжения относительно оси, проходящей череп точку А, равна нулю:

$mgl_{1} - Tl_{2} = 0$, (3)

где $l_{1} = MA = \frac{L}{2} \sin \alpha$ и $l_{2} = AC \sin (90 - \gamma) = ( \sqrt{a^{2} - b^{2} \sin^{2} \alpha } + b \cos \alpha) \frac{b \sin \alpha}{a}$ - плечи сил $mg$ и $T$. Подставив выражения для $T, l_{1}$ и $l_{2}$ в (3), получим:

$\frac{L}{2} \sin \alpha = \frac{a( \sqrt{a^{2} - b^{2} \sin^{2} \alpha } + b \cos \alpha)}{ \sqrt{a^{2} - b^{2} \sin^{2} \alpha } } \frac{b \sin \alpha}{a}$,

откуда

$\sqrt{a^{2} - b^{2} \sin^{2} \alpha } \left ( \frac{L}{2b} - 1 \right ) = b \cos \alpha$. (4)

Возведем уравнение (4) в квадрат, подставим $\sin^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \alpha$ и получим:

$\cos \alpha = \frac{L/2 - b}{b} \sqrt{ \frac{a^{2} - b^{2} }{L(b - L / 4)} }$