Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8821
2018-07-15 
Чему должна быть равна масса шарнирно укрепленной палочки длиной $l$, чтобы цилиндр радиусом $R$ не скатывался по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ (рис.)? Цилиндр касается середины палочки. Масса цилиндра $M$.
Решение:
На цилиндр действуют (рис.): сила тяжести $\vec{F}_{т} = M \vec{g}$, силы нормальной реакции $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ и силы трения $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$. При равновесии алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих па цилиндр, относительно любой оси вращения равна нулю. Запишем условие равновесия цилиндра относительно оси, проходящей через точку A:
$N_{1} \frac{l}{2} - N_{2} \frac{l}{2} + Mg |AO| \cos ( \alpha - beta) = 0$, (1)
где
$|AO| = \sqrt{ \frac{l^{2} }{4} + R^{2} } = \frac{ \sqrt{ l^{2} + 2R^{2} } }{2}, \cos \beta = \frac{l}{ \sqrt{l^{2} + 2R^{2} } }, |AK| = |AL| = \frac{l}{2}$.
Условие равновесия цилиндра относительно оси, проходящей через точку O, имеет вид:
$F_{тр1}R - F_{тр2}R = 0$, (2)
откуда
$F_{тр1} = F_{тp2}, \mu_{1}N_{1} = \mu_{2}N_{2}, N_{2} = \frac{ \mu_{1} N_{1} }{ \mu_{2} }$.
Сила $N_{1} = mg \cos \gamma$, где $\gamma = \alpha - 2 \beta$.
Подставив прлучеипые выражения в уравнение (1), получаем:
$m = \frac{M \mu_{2} \sqrt{l^{2} + 2R^{2} } \cos ( \alpha - \beta) }{l( \mu_{2} - \mu_{1} ) \cos \gamma}$.
Чему должна быть равна масса шарнирно укрепленной палочки длиной $l$, чтобы цилиндр радиусом $R$ не скатывался по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$ (рис.)? Цилиндр касается середины палочки. Масса цилиндра $M$.
Решение:
На цилиндр действуют (рис.): сила тяжести $\vec{F}_{т} = M \vec{g}$, силы нормальной реакции $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ и силы трения $\vec{F}_{тр1}$ и $\vec{F}_{тр2}$. При равновесии алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих па цилиндр, относительно любой оси вращения равна нулю. Запишем условие равновесия цилиндра относительно оси, проходящей через точку A:
$N_{1} \frac{l}{2} - N_{2} \frac{l}{2} + Mg |AO| \cos ( \alpha - beta) = 0$, (1)
где
$|AO| = \sqrt{ \frac{l^{2} }{4} + R^{2} } = \frac{ \sqrt{ l^{2} + 2R^{2} } }{2}, \cos \beta = \frac{l}{ \sqrt{l^{2} + 2R^{2} } }, |AK| = |AL| = \frac{l}{2}$.
Условие равновесия цилиндра относительно оси, проходящей через точку O, имеет вид:
$F_{тр1}R - F_{тр2}R = 0$, (2)
откуда
$F_{тр1} = F_{тp2}, \mu_{1}N_{1} = \mu_{2}N_{2}, N_{2} = \frac{ \mu_{1} N_{1} }{ \mu_{2} }$.
Сила $N_{1} = mg \cos \gamma$, где $\gamma = \alpha - 2 \beta$.
Подставив прлучеипые выражения в уравнение (1), получаем:
$m = \frac{M \mu_{2} \sqrt{l^{2} + 2R^{2} } \cos ( \alpha - \beta) }{l( \mu_{2} - \mu_{1} ) \cos \gamma}$.
