Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8816
2018-07-15 
Стержень подвешен на нити, как показано на рис. При каком коэффициенте трения возможен такой подвес? Длина нити равна длине стержня.
Решение:
На стержень действуют (рис.): сила тяжести $\vec{F}_{т} = m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$, сила нормальной реакции $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тp}$. Запишем условия равновесия стержня: 1) сумма действующих на него сил равно нулю:
$\vec{N} + \vec{F}_{тр} + \vec{T} + m \vec{g} = 0$; (1)
2) алгебраическая сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Выбираем ось так, чтобы как можно большее число моментов неизвестных сил относительно этой оси было равно нулю. Это может быть точка А. Тогда второе условие равновесия имеет вид:
$Tl - mg \frac{l}{2} \cos \alpha = 0$, (2)
откуда
$T = \frac{mg}{2} \cos \alpha$.
Уравнение (1) имеет следующие проекции на координатные оси:
на ось х : $F_{тр} - T \sin \alpha = 0$,
на ось у : $\vec{N} + \vec{T} \cos \alpha - mg = 0$.
Учитывая, что $F_{тр} = \mu N$, из этих уравнений найдем:
$N = mg - T \cos \alpha = mg \left ( 1 - \frac{ \cos^{2} \alpha }{2} \right )$
и
$F_{тр} = \mu mg \left (1 - \frac{ \cos^{2} \alpha }{2} \right ) = \frac{mg \cos \alpha \sin \alpha}{2}$,
откуда
$\mu = \frac{ \cos \alpha \sin \alpha}{2 - \cos^{2} \alpha}$.
Чтобы определить минимальное значение коэффициента трения $\mu$, исследуем функцию $\mu( \alpha)$. Ее производная равна:
$\mu^{ \prime}( \alpha) = \frac{ \cos 2 \alpha - \frac{1}{2} \sin^{2} \alpha }{(2 - \cos^{2} \alpha)^{2} }$.
Условием экстремума функции является равенство ее производной нулю $\mu^{ \prime} ( \alpha) = 0$, откуда $\alpha = 45^{ \circ}$. При $\alpha = 45^{ \circ}$ получаем $\mu = \frac{1}{3}$.
Стержень подвешен на нити, как показано на рис. При каком коэффициенте трения возможен такой подвес? Длина нити равна длине стержня.
Решение:
На стержень действуют (рис.): сила тяжести $\vec{F}_{т} = m \vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$, сила нормальной реакции $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тp}$. Запишем условия равновесия стержня: 1) сумма действующих на него сил равно нулю:
$\vec{N} + \vec{F}_{тр} + \vec{T} + m \vec{g} = 0$; (1)
2) алгебраическая сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю. Выбираем ось так, чтобы как можно большее число моментов неизвестных сил относительно этой оси было равно нулю. Это может быть точка А. Тогда второе условие равновесия имеет вид:
$Tl - mg \frac{l}{2} \cos \alpha = 0$, (2)
откуда
$T = \frac{mg}{2} \cos \alpha$.
Уравнение (1) имеет следующие проекции на координатные оси:
на ось х : $F_{тр} - T \sin \alpha = 0$,
на ось у : $\vec{N} + \vec{T} \cos \alpha - mg = 0$.
Учитывая, что $F_{тр} = \mu N$, из этих уравнений найдем:
$N = mg - T \cos \alpha = mg \left ( 1 - \frac{ \cos^{2} \alpha }{2} \right )$
и
$F_{тр} = \mu mg \left (1 - \frac{ \cos^{2} \alpha }{2} \right ) = \frac{mg \cos \alpha \sin \alpha}{2}$,
откуда
$\mu = \frac{ \cos \alpha \sin \alpha}{2 - \cos^{2} \alpha}$.
Чтобы определить минимальное значение коэффициента трения $\mu$, исследуем функцию $\mu( \alpha)$. Ее производная равна:
$\mu^{ \prime}( \alpha) = \frac{ \cos 2 \alpha - \frac{1}{2} \sin^{2} \alpha }{(2 - \cos^{2} \alpha)^{2} }$.
Условием экстремума функции является равенство ее производной нулю $\mu^{ \prime} ( \alpha) = 0$, откуда $\alpha = 45^{ \circ}$. При $\alpha = 45^{ \circ}$ получаем $\mu = \frac{1}{3}$.
