Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8811
2018-07-15 
Длинный невесомый жесткий стержень вращается в вертикальной плоскости вокруг точки О (рис.). На нем закреплены грузы массами $m = 100 г$ и $M = 200 г$ на расстоянии $l = 1 м$ и $L = 2 м$ от точки О. Найдите силу натяжения стержня между грузами $m$ и $M$ в момент прохождения им положения равновесия, если стержень предварительно был отклонен на угол $\alpha = 60^{ \circ}$.
Решение:
На тело массой $M$ действуют две силы (рис.): сила натяжения стержня $\vec{T}_{1}$ и сила тяжести $\vec{F}_{т1} = M \vec{g}$. Второй закон Ньютона для тела $M$ имеет вид:
$M \vec{a}_{1} = \vec{T}_{1} + M \vec{g}$,
и в проекции на ось у:
$Ma_{ц1} = T_{1} - Mg$, (1)
где $a_{ц1} = \omega^{2}L$. Ha тело массой $m$ действуют три силы: сила тяжести $\vec{F}_{т2} = m \vec{g}$, силы натяжения стержня $\vec{T}_{2}$ и $\vec{T}_{1}^{ \prime}$. Для него второй закон Ньютона запишется в виде:
$m \vec{a}_{2} = \vec{T}_{2} + \vec{T}_{1}^{ \prime} + m \vec{g}$.
и в проекции на ось у:
$ma_{ц2} = T_{2} - T_{1} - mg$, (2)
где $a_{ц2} = \omega^{2}l$, а $T_{1}^{ \prime} = T_{1}$. Сложив уравнения (1) и (2), получаем:
$(ML + ml) \omega^{2} = T_{2}(m + M)g$.
Чтобы найти угловую скорость $\omega$, воспользуемся законом сохранения механической энергии. Если за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии принять ось х, то в положении, когда стержень отклонен на угол $\alpha$, энергия системы равна
$W_{1} = MgL( 1 - \cos \alpha) + mg(L - l \cos \alpha)$.
При прохождении положения равновесия энергия системы равна
$W_{2} = \frac{M \omega^{2} L^{2}}{2} + \frac{m \omega^{2}l^{2} }{2} + mg(L - l)$.
$W_{1} = W_{2}$, следовательно,
$\omega^{2} = \frac{2(ML + ml)g(1 - \cos \alpha)}{ML^{2} + ml^{2} }$
Находим $T_{1}$:
$T_{1} = Mg + M \omega^{2}L = Mg + \frac{2M(ML + ml)gL(1 - \cos \alpha)}{ML^{2} + ml^{2} }$.
$T_{1} = Mh \left ( 1 + \frac{4(ML + ml)L \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} }{ML^{2} + ml^{2} } \right )$;
$T_{1} = 4,2 H$.
Длинный невесомый жесткий стержень вращается в вертикальной плоскости вокруг точки О (рис.). На нем закреплены грузы массами $m = 100 г$ и $M = 200 г$ на расстоянии $l = 1 м$ и $L = 2 м$ от точки О. Найдите силу натяжения стержня между грузами $m$ и $M$ в момент прохождения им положения равновесия, если стержень предварительно был отклонен на угол $\alpha = 60^{ \circ}$.
Решение:
На тело массой $M$ действуют две силы (рис.): сила натяжения стержня $\vec{T}_{1}$ и сила тяжести $\vec{F}_{т1} = M \vec{g}$. Второй закон Ньютона для тела $M$ имеет вид:
$M \vec{a}_{1} = \vec{T}_{1} + M \vec{g}$,
и в проекции на ось у:
$Ma_{ц1} = T_{1} - Mg$, (1)
где $a_{ц1} = \omega^{2}L$. Ha тело массой $m$ действуют три силы: сила тяжести $\vec{F}_{т2} = m \vec{g}$, силы натяжения стержня $\vec{T}_{2}$ и $\vec{T}_{1}^{ \prime}$. Для него второй закон Ньютона запишется в виде:
$m \vec{a}_{2} = \vec{T}_{2} + \vec{T}_{1}^{ \prime} + m \vec{g}$.
и в проекции на ось у:
$ma_{ц2} = T_{2} - T_{1} - mg$, (2)
где $a_{ц2} = \omega^{2}l$, а $T_{1}^{ \prime} = T_{1}$. Сложив уравнения (1) и (2), получаем:
$(ML + ml) \omega^{2} = T_{2}(m + M)g$.
Чтобы найти угловую скорость $\omega$, воспользуемся законом сохранения механической энергии. Если за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии принять ось х, то в положении, когда стержень отклонен на угол $\alpha$, энергия системы равна
$W_{1} = MgL( 1 - \cos \alpha) + mg(L - l \cos \alpha)$.
При прохождении положения равновесия энергия системы равна
$W_{2} = \frac{M \omega^{2} L^{2}}{2} + \frac{m \omega^{2}l^{2} }{2} + mg(L - l)$.
$W_{1} = W_{2}$, следовательно,
$\omega^{2} = \frac{2(ML + ml)g(1 - \cos \alpha)}{ML^{2} + ml^{2} }$
Находим $T_{1}$:
$T_{1} = Mg + M \omega^{2}L = Mg + \frac{2M(ML + ml)gL(1 - \cos \alpha)}{ML^{2} + ml^{2} }$.
$T_{1} = Mh \left ( 1 + \frac{4(ML + ml)L \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} }{ML^{2} + ml^{2} } \right )$;
$T_{1} = 4,2 H$.
