Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8809
2018-07-15 
В каких пределах может изменяться угловая скорость вращения $\omega$ конуса, показанного на рис., чтобы шарик в нем находился на высоте $h$? Коэффициент трения $\mu$, угол при вершине конуса $2 \alpha$.
Решение:
На шарик действуют три силы (рис.): сила тяжести $\vec{F}_{т} = m \vec{g}$, сила нормальной реакции $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$. Шарик равномерно движется по окружности с центром в точке О, лежащей в горизонтальной плоскости. При решении задачи необходимо учесть, что сила трения может быть направлена вдоль поверхности конуса вверх или вниз в зависимости от того, куда направлена результирующая сил тяжести и нормальной реакции. Запишем для тела второй закон Ньютона:
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$. (1)
Если сила трения $\vec{F}_{тр}$ направлена вверх вдоль поверхности конуса (рис. а), проекции уравнения на оси координат имеют вид:
на ось х : $ma_{ц} = N \cos \alpha - F_{тр} \sin \alpha$,
на ось у : $0 = N \sin \alpha + F_{тр} \cos \alpha - mg$.
Подставив выражение для силы трения $F_{тр} = \mu N$, получаем
$N = \frac{mg}{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}, ma_{ц} = \frac{mg) \cos \alpha - \mu \cos \alpha }{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}$.
Воспользовавшись формулой для центростремительного ускорения $a_{ц} = \omega^{2}r = \omega^{2}h tg \alpha$, имеем:
$\omega = \sqrt{ \frac{g ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha)}{h tg \alpha ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) } }$. (2)
В случае, когда сила трения направлена вниз вдоль поверхности конуса (рис. б), проекции уравнения (1) на оси координат имеют следующий вид:
на ось х : $ma_{ц} = N \cos \alpha + F_{тр} \sin \alpha$,
на ось у : $0 = N \sin \alpha - F_{тр} \cos \alpha - mg$,
$F_{тр} = \mu N, 0 = N \sin \alpha - \mu N \cos \alpha - mg$, откуда
$N = \frac{mg}{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}$,
$ma_{ц} = \frac{mg( \cos \alpha + \mu \sin \alpha )}{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}$
и для $\omega$ получаем:
$\omega = \sqrt{ \frac{g ( \cos \alpha + \mu \sin \alpha)}{h tg \alpha ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) } }$. (3)
Выражения (2) и (3) были получены для случаев, когда сила трения покоя принимала свое максимальное значение, которое в свою очередь определяло максимальное или минимальное центростремительное ускорение, а значит и угловую скорость $\omega$.
Ответ: $\sqrt{ \frac{g ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha)}{h tg \alpha ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) } } \leq \omega \sqrt{ \frac{g ( \cos \alpha + \mu \sin \alpha)}{h tg \alpha ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) } }$.
В каких пределах может изменяться угловая скорость вращения $\omega$ конуса, показанного на рис., чтобы шарик в нем находился на высоте $h$? Коэффициент трения $\mu$, угол при вершине конуса $2 \alpha$.
Решение:
На шарик действуют три силы (рис.): сила тяжести $\vec{F}_{т} = m \vec{g}$, сила нормальной реакции $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$. Шарик равномерно движется по окружности с центром в точке О, лежащей в горизонтальной плоскости. При решении задачи необходимо учесть, что сила трения может быть направлена вдоль поверхности конуса вверх или вниз в зависимости от того, куда направлена результирующая сил тяжести и нормальной реакции. Запишем для тела второй закон Ньютона:
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$. (1)
Если сила трения $\vec{F}_{тр}$ направлена вверх вдоль поверхности конуса (рис. а), проекции уравнения на оси координат имеют вид:
на ось х : $ma_{ц} = N \cos \alpha - F_{тр} \sin \alpha$,
на ось у : $0 = N \sin \alpha + F_{тр} \cos \alpha - mg$.
Подставив выражение для силы трения $F_{тр} = \mu N$, получаем
$N = \frac{mg}{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}, ma_{ц} = \frac{mg) \cos \alpha - \mu \cos \alpha }{ \sin \alpha + \mu \cos \alpha}$.
Воспользовавшись формулой для центростремительного ускорения $a_{ц} = \omega^{2}r = \omega^{2}h tg \alpha$, имеем:
$\omega = \sqrt{ \frac{g ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha)}{h tg \alpha ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) } }$. (2)
В случае, когда сила трения направлена вниз вдоль поверхности конуса (рис. б), проекции уравнения (1) на оси координат имеют следующий вид:
на ось х : $ma_{ц} = N \cos \alpha + F_{тр} \sin \alpha$,
на ось у : $0 = N \sin \alpha - F_{тр} \cos \alpha - mg$,
$F_{тр} = \mu N, 0 = N \sin \alpha - \mu N \cos \alpha - mg$, откуда
$N = \frac{mg}{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}$,
$ma_{ц} = \frac{mg( \cos \alpha + \mu \sin \alpha )}{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}$
и для $\omega$ получаем:
$\omega = \sqrt{ \frac{g ( \cos \alpha + \mu \sin \alpha)}{h tg \alpha ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) } }$. (3)
Выражения (2) и (3) были получены для случаев, когда сила трения покоя принимала свое максимальное значение, которое в свою очередь определяло максимальное или минимальное центростремительное ускорение, а значит и угловую скорость $\omega$.
Ответ: $\sqrt{ \frac{g ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha)}{h tg \alpha ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) } } \leq \omega \sqrt{ \frac{g ( \cos \alpha + \mu \sin \alpha)}{h tg \alpha ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) } }$.
