Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 8808
2018-07-15 
Математический маятник длиной $l$ имеет массу $m$. Нить отклоняют на угол $\alpha$ и отпускают. Определите натяжения нити $T_{1}$ в начальный момент движения, $T_{2}$ в момент времени, когда нить отклонена на угол $\beta ( \beta < \alpha)$, и $T_{3}$ в момент времени, когда тело проходит положение равновесия.
Решение:
На тело массой $m$ действуют две силы (рис.): сила тяжести $\vec{F}_{т} = m \vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. В начальный момент движения скорость $v$ равна пулю, центростремительное ускорение $a_{ц} = \frac{v^{2} }{l}$ также равно нулю. Для тела можно написать:
$\vec{T}_{1} + m \vec{g} = 0$,
и в проекции на ось, совпадающую с направлением силы $\vec{T}_{1}$, имеем:
$T_{1} - mg \cos \alpha = 0$,
откуда $T_{1} = mg \cos \alpha$.
В момент времени, когда нить отклонена на угол $\beta$, основной закон динамики имеет вид:
$m \vec{g} + \vec{T}_{2} = m \vec{a}$,
и в проекции на радиальное направление
$T_{2} - mg \cos \beta = ma_{ц}$, (1)
где $a_{ц} = \frac{v^{2} }{l}$ и направлено к центру окружности О. Для определения скорости $v$ в этой точке воспользуемся законом сохранения механической энергии. Нулевой уровень отсчета потенциальной энергии считаем проходящим через положение равновесия тела. В положении I тело обладало только потенциальной энергией $W_{I} = mgh_{1}$, где $h_{1} = l - l \cos \alpha$. В положении II полная механическая энергия тела $W_{II} = mgh_{2} + \frac{mv^{2} }{2}$, где $h_{2} = l - l \cos \beta. W_{I} =W_{II}$,
$mgl( 1 - \cos \alpha) = mgl(1 - \cos \beta) + \frac{mv^{2} }{2}$,
откуда
$v^{2} = 2gl( \cos \beta - \cos \alpha)$. (2)
Подставив (2) в выражение (1), получаем:
$T_{2} = mg (3 \cos \beta - 2 \cos \alpha)$.
В момент, когда тело проходит положение равновесия, основной закон динамики в проекции на ось у имеет вид:
$T_{3} - mg = ma_{ц}^{ \prime}$, (3)
где $a_{ц}^{ \prime} = \frac{v^{ \prime 2} }{l}$.
Скорость тела $v^{ \prime}$ находим из закона сохранения энергии: $W_{I} = W_{III}$, где $W_{III} = \frac{mv^{ \prime 2} }{2}$ - энергия тела, в положении III.
$mgl(1 - \cos \alpha) = \frac{mv^{ \prime 2} }{2}$,
$v^{ \prime 2} = 2gl(1 - \cos \alpha)$. (4)
Подставив (4) в (3), получаем:
$T_{3} = mg(3 - 2 \cos \alpha)$.
Математический маятник длиной $l$ имеет массу $m$. Нить отклоняют на угол $\alpha$ и отпускают. Определите натяжения нити $T_{1}$ в начальный момент движения, $T_{2}$ в момент времени, когда нить отклонена на угол $\beta ( \beta < \alpha)$, и $T_{3}$ в момент времени, когда тело проходит положение равновесия.
Решение:
На тело массой $m$ действуют две силы (рис.): сила тяжести $\vec{F}_{т} = m \vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. В начальный момент движения скорость $v$ равна пулю, центростремительное ускорение $a_{ц} = \frac{v^{2} }{l}$ также равно нулю. Для тела можно написать:
$\vec{T}_{1} + m \vec{g} = 0$,
и в проекции на ось, совпадающую с направлением силы $\vec{T}_{1}$, имеем:
$T_{1} - mg \cos \alpha = 0$,
откуда $T_{1} = mg \cos \alpha$.
В момент времени, когда нить отклонена на угол $\beta$, основной закон динамики имеет вид:
$m \vec{g} + \vec{T}_{2} = m \vec{a}$,
и в проекции на радиальное направление
$T_{2} - mg \cos \beta = ma_{ц}$, (1)
где $a_{ц} = \frac{v^{2} }{l}$ и направлено к центру окружности О. Для определения скорости $v$ в этой точке воспользуемся законом сохранения механической энергии. Нулевой уровень отсчета потенциальной энергии считаем проходящим через положение равновесия тела. В положении I тело обладало только потенциальной энергией $W_{I} = mgh_{1}$, где $h_{1} = l - l \cos \alpha$. В положении II полная механическая энергия тела $W_{II} = mgh_{2} + \frac{mv^{2} }{2}$, где $h_{2} = l - l \cos \beta. W_{I} =W_{II}$,
$mgl( 1 - \cos \alpha) = mgl(1 - \cos \beta) + \frac{mv^{2} }{2}$,
откуда
$v^{2} = 2gl( \cos \beta - \cos \alpha)$. (2)
Подставив (2) в выражение (1), получаем:
$T_{2} = mg (3 \cos \beta - 2 \cos \alpha)$.
В момент, когда тело проходит положение равновесия, основной закон динамики в проекции на ось у имеет вид:
$T_{3} - mg = ma_{ц}^{ \prime}$, (3)
где $a_{ц}^{ \prime} = \frac{v^{ \prime 2} }{l}$.
Скорость тела $v^{ \prime}$ находим из закона сохранения энергии: $W_{I} = W_{III}$, где $W_{III} = \frac{mv^{ \prime 2} }{2}$ - энергия тела, в положении III.
$mgl(1 - \cos \alpha) = \frac{mv^{ \prime 2} }{2}$,
$v^{ \prime 2} = 2gl(1 - \cos \alpha)$. (4)
Подставив (4) в (3), получаем:
$T_{3} = mg(3 - 2 \cos \alpha)$.
